Der Friden Wurzelautomat

Martin Reese / Werner Lange / Erhard Anthes

Abb. 1 Friden Wurzelautomat Modell SRW
gezeichnet von W.Lange



 

Vorstellung des Friden Wurzelautomaten

Als 1952 diese Rechenmaschine auf den Markt kam, war sie für die Herstellerfirma aus Kalifornien "die größte Erfindung auf dem Gebiete der Rechenmaschine seit Jahrzehnten".
Hennemann prägte für ihn den Begriff "Fünfspezies-Rechenautomat" ([8], S.162). Die renommierte "Burghagens Zeitschrift für Bürobedarf" schwärmte im September 1952 [2]: "Der Friden Wurzelautomat Modell SRW fand bereits in Amerika viel Beachtung. Die Wurzeleinrichtung wurde in den bewährten Superautomaten, Modell STW, eingebaut, so daß auch alle Zusatzeinrichtungen dieses bewährten Automaten zur Verfügung stehen. .... Es ist hierbei völlig gleich, ob die Wurzel aus 0,0000012345 oder aus 98765432,15 zu ziehen ist..." (S.654).

Die freudige Begrüßung dieser Erfindung hing damit zusammen, daß etwas Vergleichbares noch nie angeboten worden war - und das bei dem doch häufigen Zwang, aus einer Zahl die Wurzel ziehen zu müssen! Vielleicht war es die nach dem 2.Weltkrieg einsetzende Technologie-Explosion, vielleicht auch der erhöhte Bedarf an sehr genauen Rechenergebnissen in Wissenschaftsbereichen wie Raketentechnik, Kernforschung, Radar, Radioteleskopie, Fernsehen usw. - jedenfalls hat sich das Herstellerwerk in seiner Hoffnung auf einen guten Absatz wohl nie enttäuscht gesehen.
Dessen Monopol am Markt bestand so lange, bis 1966 mit der italienischen IME 86 S der erste elektronische Tischrechenautomat mit Wurzelfunktion vorgestellt wurde.
Der Preis des Wurzelautomaten lag immer um 8000 DM, was mindestens im Jahrzehnt des Erscheinens dem Preis für einen guten Mittelklasse-PKW entsprach. Wer ihn nicht bezahlen konnte, mußte sich mit "Toepler", Tabellen oder dem Rechenstab begnügen - alles Verfahren, die die neue amerikanische Maschine an Zuverlässigkeit und Schnelligkeit weit übertraf. Mit ihren 600 U/min gehörte sie immer in die Spitzenposition unter allen Staffelwalzenmaschinen. Auch für die Berechnung der Kubikwurzel wird ein schnelles Verfahren möglich; dazu war nach folgender Formel zu rechnen:

wobei n der Radikand und a ein guter Näherungswert ist, der aus einer Tabelle abgelesen wurde. (Die Numerische Mathematik liefert Begründungen, warum diese Formel gute Werte für die Kubikwurzel liefert.)
Vierte oder achte Wurzeln waren ohnehin kein Problem, die konnten automatisch durch mehrfache Benutzung der Wurzelfunktion berechnet werden.

Vergleicht man man den amerikanischen Friden-Automaten mit einer westdeutschen Staffelwalzenmaschine der 50-er Jahre (z.B. Diehl, Badenia), so erkennt man - sobald man die Verkleidungen abgenommen hat - einen interessanten Unterschied: In der amerikanischen Maschine wurden, soweit es irgend möglich war, gestanzte Bauteile verwendet; selbst die 10 Staffelwalzen und viele andere Zahnräder (Ausnahme: Kegelzahnräder) wurden auf Stanzmaschinen gefertigt.
Die deutschen Fabrikanten dagegen ließen einen beachtlichen Anteil der Maschinenteile durch Bohren, Fräsen und Drehen herstellen - traditionell und teuer.

Abb. 2: Prospektseite des Wurzelautomaten,
San Leandro, ca. 1955

Interessant ist auch die konsequente Verfolgung des Baukastenprinzips, wodurch die Friden Corporation erreichte, daß möglichst viele Bauteile in den verschiedenen Rechenmaschinen verwendbar waren.
Man findet in den Modellen SW und STW etliche Freiräume und Stanzungen, die nur im Wurzelautomaten SRW genutzt wurden:
Das Modell SRW war das "Flaggschiff" von Friden in den 50-er und 60-er Jahren, eine grandiose und einmalige Fortentwicklung des Modells A, mit dem Carl Friden (von 1917 bis 1929 Marchant-Chefkonstrukteur) 1934 in San Leandro gestartet war.
Alle anderen Friden-Maschinen könnten als "abgemagerte" Versionen des Wurzelautomaten angesehen werden. Daher sind alle Einrichtungen des Wurzelautomaten für die vier Grundrechenarten in derselben Weise angeordnet wie beim Vierspeziesrechner Modell STW (ohne Wurzelautomatik), und sie funktionieren auch in derselben Weise wie dort. Eine recht ausführliche technische Beschreibung des STW findet man in der Zeitschrift "Der Büromaschinen-Mechaniker", siehe [15].

Neben den Wurzeltasten unterscheidet den Wurzelautomaten eine weitere äußerliche Auffälligkeit von seinen Modellvarianten: Sein Einstellwerk beginnt auf der rechten Seite mit drei gleichfarbigen Tastenreihen - ein Zeichen dafür, daß diese Maschine nicht für einfaches kaufmännisches oder technisches Rechnen gedacht war.

Bei den folgenden Erläuterungen werden Abkürzungen verwendet:
EW - Einstellwerk;
HZW - Hauptzählwerk;
UZW - Umdrehungszählwerk.


 

Wie rechnet der Wurzelautomat ?

Beim Wurzelziehen bedient sich der Friden-Automat vieler Vorrichtungen, die auch beim Dividieren benötigt werden.
Das liegt daran, daß beide Rechenverfahren auf der fortgesetzten Subtraktion beruhen.
Beim Dividieren sieht der automatische Ablauf so aus:

  • Dividend eintasten,
  • Enter Dividend]-Taste drücken,
  • im HZW erscheint der Dividend,
  • darunter den Divisor eintasten,
  • [:]-Taste drücken,
  • passende Subtraktionen werden im UZW gezählt,
  • Überlauf löst additive Korrekturumdrehung aus,
  • Korrekturdrehung löst Wagenverschiebung aus,
  • passende Subtraktionen werden im UZW gezählt,
  • usw,
  • im UZW steht der Quotient,
  • im HZW steht der Divisionsrest.

 

Beim Radizieren werden alle diese Vorgänge ebenfalls benötigt, allerdings genügt nach der Eingabe des Radikanden ein einziger Tastendruck.

So kommt man zwangsläufig zur ersten Kardinalfrage: Was subtrahiert der Wurzelautomat vom Radikanden, wenn gar kein Subtrahend eingegeben worden ist?
Die Antwort lautet:
Bei der ersten Subtraktion eine 5.

Damit aber nicht einfach durch 5 geteilt wird, muß die Maschine beim Wurzelziehen ständig den Subtrahenden verändern. Dabei gibt es ein enges Zusammenspiel des Einstellwerkes mit dem Umdrehungszählwerk.
Beispiel: Hat die erste Subtraktion geklappt (d.h. es ist kein Überlauf entstanden), dann folgt auf die 5 eine 15. Konnte auch dieser Wert noch subtrahiert werden, folgt ein Minusschlag mit einer 25. Sollte jetzt ein Überziehen des HZW registriert werden, dann macht die Maschine den üblichen Korrekturschlag und läßt den Wagen einen Schritt nach links weiterfahren. Der neue Subtrahend heißt nun 205 (Die "2" ist entstanden aus der Anzahl der erfolgreichen Subtraktionen; diese wird im EW festgehalten !). Ihm könnten 215, 225, 235, 245 folgen - dann, nach einer Korrekturdrehung und Wagenfahrt, würde es mit 2405, 2415 weitergehen (Die "4" wäre wieder die Anzahl der erfolgreichen Subtraktionen.). Angenommen, der Friden Wurzelautomat hätte bis zum Abschalten genau so gerechnet und der Rest im HZW wäre Null, dann müßte der eingetippte Radikand 58 081 gewesen sein. Warum ? Der letzte Subtrahend ohne die angehängte flüchtige 5 gibt das Ergebnis wieder: 241. Quadriert, also zurückgerechnet, ergibt das 58 081.Der letzte Subtrahend war 2415. Üblicherweise müßte er wie jeder Subtrahend im Einstellwerk an den gedrückten Tasten zu sehen sein. Niemand hat die Tastenbänke berührt, im Einstellwerk ist nichts zu sehen. Hier steht man nun vor der nächsten Kardinalfrage: Welche Geisterhand stellt während des raschen Ablaufs (600 U/min) unentwegt neue Subtrahenden ein und woher kommen die Befehle ?Die Befehle kommen von der Hauptwelle, die auch das Umdrehungszählwerk steuert. Die "Geisterhand" ist eine äußerst raffinierte Zahnrad- und Hebelmechanik über den fünf Tandem-Staffelwalzen (Zwillings-Staffelwalzen). Sie verschiebt bzw. arretiert die zugehörigen Stellräder des Einstellwerkes, genau so, wie es die Einstelltasten getan hätten. Die wesentlichen Teile sind auf drei Wellen angeordnet, die in den freien Raum zwischen Volltastatur und Schlitten eingebaut wurden, siehe Abbildung 3.

Abb. 3 Querschnitt mit der Lage der Staffelwalzen
und der drei Achsen des Wurzelmechanismus

Protokoll eines Rechenablaufs:

Falls die letzte Stelle rechts erreicht ist, dann wird die Maschine abgeschaltet und die flüchtige 5 gelöscht. Im UZW und im EW steht das Ergebnis.

Es empfiehlt sich, diesen Rechenablauf auf einer Staffelwalzenmaschine per Hand einmal nachzustellen.
Dadurch bekommt man eine Vorstellung davon, welche Befehlskette im Friden-Wurzelautomaten mechanisch programmiert worden ist.
Am Schluß stehen gleiche Zahlenwerte sowohl im UZW als auch im EW: Der Radikand ist in zwei gleiche Faktoren zerlegt worden.


 

Die Vorbereitung der Maschine auf das Wurzelrechnen

Das Niederdrücken einer Radiziertaste läßt - nach automatischer Löschung des HZW/UZW in linker Schlittenposition - zunächst den Wagen in die äußerste Position nach rechts fahren.
Dieser Wagenstand löst nun - genau wie beim Divisionsablauf - den Eintrag des Radikanden in das HZW aus, allerdings fünfmal!
Dazu wird auf der linken Maschinenseite eine interessante Mechanik in Gang gesetzt - natürlich nur beim Wurzelziehen.

Es beginnt damit, daß der Wagen in seiner äußersten rechten Position einen kleinen Hebel hinabdrückt. Er schiebt das bewegliche Einzahnsegment Es nach unten und füllt auf diese Weise die "Zahnlücke" des großen Zahnrades Z1 um den entscheidenden einen Zahn, siehe Abb.5.

Abb.4: Linke Seite der Maschine mit dem Fünffach-Getriebe

Abb. 5: Fünffach-Getriebe und Vorbereitung der Radizierfunktion.

Erst jetzt findet das kleine rotierende Einzahnritzel Er einen Mitspieler und kann das große Zahnrad antreiben - um zwei Zähne pro Umdrehung. Nun verdreht sich ebenfalls das obere Zahnrad Z2 mitsamt seiner Kurvenscheibe. Diese zwingt die abgebildete Hebelmechanik zu einem kurzen Bewegungsablauf, der die Schubklinken Sk1 und Sk2 in eine Vorbereitungsposition bringt.
Nach genau 5 Umdrehungen des Einzahnritzels Er drückt der Begrenzungsstift Bs am Zahnrad Z1 die Sperrklinke Sp hoch und nimmt die Zugstange Zu1 den Hebeldruck vom Einzahnsegment, so daß die inzwischen gespannte starke Zugfeder Zf die Zahnradkombination Z1/Z2 in die Ausgangslage zurückdreht.
Dadurch werden vier Funktionen in folgender Reihenfolge ausgelöst:

  1. Die Schubklinke Sk1 sorgt über den zugehörigen Winkelhebel für eine Rechtsverschiebung der Nockenwelle Nw um ca. 4mm. Dadurch sind die Nocken in der Lage, nacheinander jeden der Kombihebel Kh ein wenig zu verdrehen.
  2. Die Schubklinke Sk2 verdreht schon jetzt den Kombihebel der 10. Stelle des EW und rastet dadurch die flüchtige 5 der 9. Stelle ein, siehe Erläuterung weiter unten.
  3. Der Zählhebel Zh wird freigegeben. Von nun an löst jede Subtraktion im HZW eine Nickbewegung von Zh aus, die mit einer Kurvenscheibe erzeugt wird. Die obere Klinke von Zh treibt über ein Zackenrad die kleinen Zahnräder (Zwischenräder Zr) auf der Vierkantwelle Vkw.

Die Zugstange Zu2 setzt die Divisionsmechanik auf der rechten Maschinenseite in Gang. Alle geschilderten Vorgänge, die ja nur der Vorbereitung der Maschine auf das Wurzelziehen dienen, dauern kaum mehr als zwei Sekunden. Nicht zu vergessen ist, daß durch die genau begrenzte Anzahl von fünf Umdrehungen der zuvor eingestellte Radikand fünmal ins HZW eingetragen wurde.

Abb. 6: Zählhebel und Schneckengetriebe


 

Verkopplung von Umdrehungszählwerk und Einstellwerk - Beschreibung der Bewegungsabläufe

Durch jede Wagenfahrt nach links wird über die Stege einer Transportschiene Ts - fest am Zählwerkswagen montiert - und über ein zugehöriges Schaltrad Sr ein Schneckengetriebe Sg auf dem linken Ende der Nockenwelle Nw bewegt.

Abb.7: Nockenwelle (Nw) mit 10 versetzten Nocken, Vierkantwelle (Vkw) mit Zwischenrädern


Je Wagenstelle verdreht sich die Nockenwelle um 1/10 einer Umdrehung. Die Nocken lösen, entsprechend der Position des Wagens, die Aktivierung eines der 10 kleinen Verstellwerke aus. Als Beispiel wählen wir die Vorgänge über der 4. Tandemstaffelwalze Stw, zu der die Stellen 8 und 7 gehören. Diese Tandemstaffelwalze (dh. zwei Staffelwalzen auf einer gemeinsamen Achse) ist in Abb. 8 getrennt gezeichnet, siehe auch Abb. 3 (Querschnitt).

Abb.8: Wellen und Einstellwerk

Die eingezeichnete Nocke drückt (solange der Wagen in der 8. Position steht) auf die Gegennocke des Kombihebels. Dieser hebelt mit seinem unteren Arm den Einstellschieber 1-5 der benachbarten 7. Stelle über die "5" der hinteren Staffelwalze. Hier ist soeben die "flüchtige 5" entstanden. Gleichzeitig hat der Kombihebel mit seinem abgewinkelten Arm a gegen den Konus b des beweglichen Zwischenrades Zr gedrückt und es in eine Ebene mit dem Stirnrad Sr gebracht. Nun wird jede passende Subtraktionsdrehung über die Vierkantwelle Vkw bewirken, daß das Miniaturritzel Mr die Zahnstange und damit den Schieber S nach vorn treibt.

Abb. 9: Lage der drei Wellen zwischen Einstellwerk und Schlitten

Zunächst drückt S mit seinem abgewinkelten Teil c nur gegen den Mitnehmerhaken Mh. Dieser zieht über die stramme Schleppfeder Sf den Einstellschieber 1-5 in die entsprechende Position. Sollen aber Werte von 6 bis 9 eingestellt werden, dann drückt der Schieber gegen den Anschlag d, wodurch jetzt der andere Einstellschieber vorwärts getrieben wird. Mh gleitet dabei in seinem Führungsschlitz im Einstellschieber 1-5 entlang, ohne diesen weiter zu verstellen.
Sollten im Umdrehungszählwerk 9 passende Subtraktionen gezählt worden sein (und zwar die Subtraktionen der Werte 05, 15, 25, 35, 45, 55, 65, 75, 85), dann erfolgt bei der nächsten Subtraktion mit 95 in jedem Fall ein Überlauf im Hauptzählwerk (weil 9 die größte ganzzahlige Wurzel einer zweistelligen Zahl, z.B. 99, ist).
Nach der fälligen Korrekturaddition folgt die Wagenverschiebung nach links und eine neue Subtraktionskette (905, 915,...) kann beginnen; d.h. die noch im Einstellwerk befindliche 9 wird fixiert und die rechts daneben stehende 5 durch Fortfall des Nockendrucks gelöscht. In der 7. Stelle wird jetzt der nächste Schieber vorwärts getrieben, in der 6. Stelle erscheint die neue "flüchtige 5".


 

Die Kommamechanik: Wie findet der Friden Wurzelautomat die richtige Startposition

Ähnlich wie beim Rechnen mit Geld ist die Position des Kommas auch beim Wurzelziehen von größter Bedeutung: , dagegen , also eine ganz andere Ziffernfolge. Die Kommaposition muß zweimal bestimmt werden, zunächst beim Eintippen des Radikanden, dann aber noch einmal beim Ablesen des Wurzelwertes im Umdrehungszählwerk.
So vollautomatisch wie beim Taschenrechner vollzieht sich die Kommasetzung beim Friden-Wurzelautomaten zwar nicht, dennoch sind die Regeln sehr einfach. Der Radikand kann prinzipiell überall in das EW eingetippt werden. Dort, wo dessen Komma steht, muß die Wurzelfunktion ausgelöst werden. Die auf dieser Auslösetaste stehende Zahl gibt die Stellung des Kommas der Wurzel im UZW an. Hat man z.B. mit der Auslösetaste [(7)] gestartet, muß im UZW bei Tabulatorknopf (7) das Komma gesetzt werden. Diese Einrichtung erlaubt also auch eine Vorbestimmung der gewünschten Stellenzahl hinter dem Komma.

Die dazu nötige Mechanik besteht aus drei z.T. schon vorgestellten Elementen. Es sind beteiligt:- die Wurzel-Auslösetasten, die ja u.a. auch die Tabulationsmechanik ansprechen; alle rechten Tasten eines Paares tabulieren den Wagen so, daß die 10. Stelle des UZW der ersten Stelle des EW gegenübersteht; alle linken Tasten stoppen den Wagen schon in der 9. Position. Erst nach Aufnahme des Radikanden in das HZW fährt der Wagen in die 10. Position weiter und löst dadurch die Subtraktionskette aus;
- die Schubklinke Sk2, die zu Beginn jeder Subtraktionskette die erste "flüchtige 5" über der 9. Tastenreihe des EW einstellt;
- die Nockenwelle Nw, die nach jeder Wagenfahrt fortlaufend eines der kleinen Verstellwerke aktiviert.

Wie aber findet der Wurzelautomat den richtigen Anfang für die erste passende Subtraktion?
Als Beispiel nehmen wir . Nach fünfmaligem Eintrag ins HZW steht dort 55. Soll die Maschine nun bei der vorderen oder bei der hinteren 5 des Radikanden beginnen?
Natürlich bei der hinteren, denn sonst wird das Ergebnis furchtbar falsch - aber woher soll die Maschine das im Voraus wissen?
Sie "weiß" es aufgrund des narrensicheren Zusammenspiels der oben genannten drei Einrichtungen. Der Benutzer muß lediglich nach dem Eintippen der 11 darauf achten, daß die Auslösetaste unmittelbar hinter der Einerstelle seines Radikanden liegt - wo er den Radikanden einträgt ist völlig egal. Und fürs Komma seines Wurzelwertes muß er sich die Ziffer auf dem Auslöseknopf merken.

Abb. 10: Rechte Wurzeltaste

Angenommen , wäre mit der rechten [(7)]-Taste gestartet worden. Nach der Wagenfahrt und dem fünfmaligen Eintrag der 11 in das HZW sieht man folgendes vor sich (siehe Abb. 10):
Natürlich "paßt" die erste Subtraktion nicht, weshalb der Wagen einen Schritt nach links fährt und dadurch die Nockenwelle Nw um 1/10 verdreht - die "flüchtige 5" und der Radikand im HZW bewegen sich aufeinander zu, oder, anders ausgedrückt, die "flüchtige 5" wandert nach jeder Wagenbewegung mit einem Doppelsprung dem Eintrag im HZW entgegen. Deshalb startet der eigentliche Radiziervorgang erst bei Stelle 14 des HZW.
Als Ergebnis im UZW ergibt sich die Ziffernfolge 33166247 - Komma, man erinnert sich, an der 7.Stelle von rechts.

Abb. 11: Linke Wurzeltaste

Hätte man dieselbe Aufgabe mit der linken Starttaste [(7)] ausgelöst, wäre folgendes zu sehen gewesen:
Wenn jetzt die erste Probesubtraktion mit der "flüchtigen 5" beginnen würde, käme am Ende das falsche Ergebnis heraus (weil die erste passende Subtraktion bei der vorderen 5 des Radikanden erfolgen würde). Dieses vermeidet der Automat, indem er auf den fünfmaligen Eintrag des eingestellten Wertes (das war 11) ins HZW bei Halteposition 9 einen weiteren Rechtsschritt des Wagens folgen läßt. Erst hier, in der 10. Position, steht die "flüchtige 5" richtig - und deshalb läuft von nun an alles Weitere genau so ab, wie oben bereits geschildert.


 

Die Toeplersche Methode des Wurzelziehens

Dieses Verfahren war früher weit verbreitet, weil es sich besonders gut für das Maschinenrechnen eignete.
Besonders auf Maschinen mit Volltastatur behielt man einigermaßen die Übersicht. Es funktioniert auch auf Sprossenradmaschinen mit Hebeleinstellung, jedoch nicht auf Maschinen mit 10-er-Tastatur im EW.
Toeplers Verfahren beruht auf der Tatsache, daß die Summe der ersten ungeraden Zahlen (d.h. bei 1 beginnend und dann immer die folgende hinzuaddieren) immer genauso groß ist wie das Quadrat der Anzahl jener ungeraden Zahlen.
Beispiel:

1+3+5 = 9

Die ersten drei ungeraden Zahlen werden addiert, das Ergebnis ist also 3*3 = Quadrat(3).
Ein anderes Beispiel:

1+3+5+7+9+11+13 = 7*7 = 49

Kehrt man diesen Zusammenhang um, ist man bei der Toeplerschen Methode. Dazu zieht man vom Radikanden schrittweise, bei 1 beginnend, die aufeinanderfolgenden ungeraden Zahlen ab und entnimmt aus der Anzahl der "passenden" Subtraktionen den gesuchten Wurzelwert.

Zwei Beispiele dazu:

 

Hierbei entsteht die Wurzel im UZW und gleichzeitig das Doppelte der Wurzel im EW.

 

Der Erfinder des Friden-Wurzelautomaten hat das Toepler-Verfahren in einem entscheidenden Punkt verbessert: Er überträgt den Radikanden gleich am Anfang fünfmal in das HZW, muß aber dafür zum Ausgleich das Fünffache der Zahlen 1, 3, 5, 7,... subtrahieren, also 05, 15, 25, 35,...; im EW entsteht in der Folge nicht das Doppelte der Wurzel, sondern das 5-fache vom Doppelten, also das Zehnfache der Wurzel: Die Ziffernfolge im EW ist also dieselbe wie die Ziffernfolge im UZW.
Damit werden einige Schwierigkeiten, die bei einer Mechanisierung des Toepler-Verfahrens auftreten müßten, umgangen:
1. Eine Zehnerübertragung im Einstellwerk ist unnötig, weil jetzt bis zu zehnmal subtrahiert werden kann, ohne daß ein solcher Übertrag notwendig wäre. Das ursprüngliche Verfahren erfordert einen Zehnerübertrag nach der fünften Subtraktion, wenn nach der 9 eine 11 zur Subtraktion eingestellt werden müßte.
2. Das ursprüngliche Toepler-Verfahren erfordert nach der additiven Korrekturumdrehung eine Reduzierung der letzten geltenden Ziffer im EW um 1. Die dazu nötige Mechanik wird nach der Fünfer-Methode eingespart; allerdings braucht man dafür eine Mechanik, die den 5-fachen Eintrag des Radikanden bewirkt und die Einstellung der "flüchtigen 5" im EW. Offenbar war dies aber einfacher zu realisieren als ein Zehnerübertrag im EW.
3. Im EW wird die Wurzel erzeugt, die damit für weitere Rechenoperationen verwendet werden kann, z.B. nachdem sie ins HZW gebracht wurde. Beim ursprünglichen Verfahren müßte man nach der Übertragung ins HZW erst noch durch 2 teilen.


 

Einige Anmerkungen zur Historie und zur Literatur

Der oben beschriebene Algorithmus für mechanische Rechenmaschinen ist bereits über 100 Jahre bekannt; seine Nähe zum schriftlichen Quadratwurzelziehen (wie es vor etwa 30 Jahren noch im Gymnasium unterrichtet wurde) liegt auf der Hand.
Der "Vater der Kinematik" Prof. Franz Reuleaux (1829 - 1905) hat das Verfahren 1865 zum ersten Mal publiziert [14] und dabei als Erfinder Prof. Dr. Toepler aus Riga genannt ("Toepler-Verfahren": TV). Über Prof. Toepler (manchmal auch "Töpler" geschrieben) ist den Autoren nur das wenige aus Poggendorf [22] bekannt.
Reuleaux hatte die Absicht, mit der Publizierung des Verfahrens den Einsatz von Rechenmaschinen durch Techniker und Wissenschaftler zu fördern. Die einzige damals kommerziell hergestellte 4-Spezies- Rechenmaschine war die Staffelwalzenkonstruktion von Charles Xavier Thomas (1785 - 1870), die ab ca. 1820 in Paris gebaut wurde; eine deutsche Rechenmaschinenproduktion begann erst 1878 durch Arthur Burkhardt in Glashütte. Abnehmer waren vorwiegend Versicherungsbüros, statistische Ämter und wissenschaftliche Einrichtungen.

Natürlich wurden auch andere - weniger umständliche - Verfahren zur Berechnung der Quadratwurzel herangezogen, das Besondere am Toepler-Algorithmus ist aber, daß eine Abwandlung davon (die Fünfer-Methode) viel später in einer mechanischen Rechenmaschine mit Hilfe von Achsen, Nocken und Zahnrädern realisiert wurde, nämlich in der ab 1952 produzierten amerikanischen Staffelwalzenmaschine Friden Mod. SRW und SRQ ("Wurzelautomat"). Das TV ("Toepler-Verfahren") wurde in der einschlägigen Literatur immer wieder beschrieben, in späteren Publikationen zusammen mit anderen Verfahren, z.B. dem nach Newton benannten.
Es wurden hin und wieder auch neue Vorschläge gemacht, die das Quadratwurzelziehen mit der mechanischen Rechenmaschine vereinfachen sollten, z.B. in [4]. Die Erstpublikation von Reuleaux [14a] wird 1866 in Dingler's Polytechnischem Journal [14b] nachgedruckt; für längere Zeit waren dies die einzigen Informationen zum TV.

Nach dem Ersten Weltkrieg begann nicht nur eine Blütezeit des mechanischen Rechners, auch der "Software" wurde einige Aufmerksamkeit geschenkt. So z.B. in der zweibändigen Brunsviga-Publikation [1], S.48 ff, in der unter vielfältigen Verfahren des Rechnens mit der Maschine auch das Quadratwurzelziehen nach Toepler ausführlich erläutert wird. Willers [18], S.44, beschreibt kurz das TV und die Newton-Iteration; in [19], S.71, und [20], S.64, erwähnt er jeweils 4 verschiedene Möglichkeiten. Meyer zur Capellen [12], S.114, findet, daß die "in Gebrauchsanweisungen häufig angegebene Methode durch Subtraktion der ungeraden Zahlen in bestimmter Folge langwierig und unzweckmäßig ist"; er gibt daher zwei andere Verfahren (das von Collatz und das Newton'sche) an. Wieder etwas ausführlicher geht Wittke [21], S.49 ff, auf die Quadratwurzelberechnung ein, man findet vier Varianten, darunter auch das TV.

Auch in der Literatur nach dem Zweiten Weltkrieg findet das TV Aufmerksamkeit, z.B. bei Taton/Flad [16], S.100-101, mit einem instruktiven Beispiel zur Fünfer-Methode; dies ist zugleich die einzige Publikation (abgesehen von Firmenschriften), die der mechanischen Realisation des TV im Friden Wurzelautomaten einige - allerdings sehr lückenhafte und daher nicht verständliche - Erklärungen widmet. In einem "Manual" werden von Dana Gibson [7], S.71 ff, ausführliche Übungsbeispiele zum Rechnen mit mechanischen Rechnern gegeben, darunter auch zum Quadratwurzelziehen nach der "Tabellen-Methode", der "Ungerade-Zahlen-Methode" und der "Fünfer-Methode". Schließlich gibt Murray [13], S.33 ff, eine gute Erklärung des schriftlichen Wurzelziehens und der Realisierung auf der Maschine mit einer kurzen Erläuterung weiterer Verfahren, und McAllister [11], S.59 ff, erläutert darüber hinaus mehrere Beispiele zum TV, darunter eines auch zur Variante des Wurzelautomaten.
Diese Aufzählung ist mit Sicherheit unvollständig.


 

Anmerkungen zur Schweizer Patentschrift

Diese Patentschrift [6] der Friden Calculating Machine Co. Inc., San Leandro (California, USA) wurde im August 1952 in der Schweiz eingereicht, am 15. Dezember 1955 wurde das Patent eingetragen.
Die USA-Patentierung erfolgte schon im August 1951. Die Schrift umfaßt 52 Seiten Text und 28 technische Zeichnungen. Am Anfang wird über die bisher üblichen Methoden des Wurzelziehens referiert - besonders das Toeplersche Verfahren wird anhand eines Beispiels ausführlich erläutert. Was danach auf 42 Seiten haarklein erklärt wird, beschäftigt sich mit einer Rechenmaschine, die das ursprüngliche Töpler-Verfahren exakt vollautomatisch ausführt. Höchst kompliziert ist dabei die technische Verwirklichung des notwendigen Zehnerübertrags im EW und die ebenso notwendige Veränderung des Subtrahenden nach einem Überzug und anschließender Korrekturaddition.
Alle beschriebenen Einrichtungen dieser Art finden sich in den Zeichnungen wieder, und es ist durchaus vorstellbar, daß eine solche Rechenmaschine auch gebaut wurde und funktionierte. Die den Verfassern bekannten Maschinen haben allerdings andere Mechaniken zur Wurzelziehung, die auf der Fünfer-Methode beruhen. In der Patentschrift wird nur sehr knapp und rein theoretisch auf eine Variante der Fünfer-Methode eingegangen, S.48/49. Die Zeichnungen stimmen kaum mit dem überein, was man im Wurzelautomaten vorfindet.

Es ist unwahrscheinlich, daß Friden zunächst die patentierte Maschine in Serie gebaut hat und anschließend dann den bekannten Automaten - dazu sind die konstruktiven Unterschiede zu groß und der in Frage kommende Zeitraum zu kurz. Sollte die in der Patentschrift beschriebene Maschine tatsächlich ab 1951 in Serie gebaut worden sein, so hätte man schon 1952 die neue Variante fertig haben müssen. Im September 1952 berichtet "Burghagens Zeitschrift für Bürobedarf" [2] auf S.654 über den Friden-Wurzelautomaten und schreibt dazu: "Die errechnete Wurzel kann sofort ohne Neueinstellung wieder als Multiplikand verwendet werden", d.h. die Fünfer-Methode war bereits installiert. Eine sinnvolle Erklärung für diese Beobachtung läßt sich wohl nur in patentrechtlichen Überlegungen finden.
Offensichtlich ging es Friden in der Hauptsache darum, die Automatisierung des Wurzelziehens grundsätzlich durch ein Patent abzusichern. Den theoretischen Hintergrund dazu stellt Toeplers Methode dar, die mit einem Hinweis auf die Fünfer-Methode garniert wurde. Man konstruierte die Maschine vielleicht nur auf dem Papier. Mit Sicherheit aber wollte man anderen Konstrukteuren den Weg vollständig verbauen, wenn sie versuchen sollten, das komplizierte und fehlerträchtige Wurzelziehen in eine mechanische Maschine einzubauen. Die am Ende der Patentschrift zusammengefaßten Ansprüche sind so umfangreich, daß die Absicht der Friden Corporation wohl in Erfüllung gegangen ist. Wir wissen jedenfalls von keinem anderen mechanischen Wurzelautomaten.

Über den Konstrukteur dieser beeindruckenden Rechenmaschine berichtet Gustav Schenk in seinen Erinnerungen an Friden: "Die Firma hatte einen ´first-class´-Ingenieur für die Entwicklung von Neuheiten. Es war Mr. Ellenbeck, er war Deutscher, ein besonders höflicher Mann. Er hatte die Sondereinrichtung konstruiert zum automatischen Ziehen von Quadratwurzeln, was damals eine sehr beachtliche Leistung bei mechanischen Rechenmaschinen war." [23] Darüber hinaus müßten auch noch Nat Hawthorne und Arthur Malavazous genannt werden. Ihre Namen wurden den Autoren auf Anfrage im April 1994 durch Carl Holm bekannt, der in Hayward, Calif., USA, die "Friden Neopost" herausgibt. Er erwähnte darüber hinaus, daß Carl Friden 1946 verstarb [24]. Einzelne Fabrikate wurden jedoch mit einer Hilfseinrichtung zur Ausziehung der Wurzel ausgerüstet:- Madas lieferte eine solche Zusatzeinrichtung (DM 90,-) für die Modelle 20 ATG, BTG u.a.; in einer Bedienungsanleitung [9] liest man: "Das Wurzelziehen auf einer Maschine, die den Wurzel-Zusatzschalter besitzt, erfolgt nach dem bekannten Töplerschen Verfahren. Taste 27 muß gedrückt sein (d.h. automatische Löschung des EW abgeschaltet); die sukzessive Subtraktion wird mit Hilfe der Divisionsauslösetaste 12 durchgeführt, die bei eingeschalteter Wurzelfunktion nach jeder Subtraktion herausspringt. Der Additionsschritt mit Wagenverschiebung wird automatische ausgeführt." Folgt man einem Rechenbeispiel aus [10], dann erkennt man, daß das Toepler-Verfahren im wesentlichen per Hand durchgeführt werden muß; lediglich die Schlittenverschiebung nach einem Überlauf mit Korrekturaddition wird selbständig von der Maschine übernommen. Äußerlich erkennt man Maschinen mit dieser Zusatzfunktion an einem kleinen Zusatzschalter * unterhalb der Divisionstaste.

Abb.12: Zusatzschalter bei Madas 20 ATG

- Die Brunsviga Doppelrechenmaschinen wurden ab 1953 von W.Faber (Neesen) zum Preis von ca. 800 DM mit einer "Radizierautomatik" versehen, deren Funktionsweise wohl dem Toepler-Verfahren entsprach, wobei eine mechanische Kopplung zwischen dem rechten UZW und dem linken EW das Wesentliche leistete. Eine Beschreibung dieser Mechanik ist auch in der Publikation [3] des Erfinders von 1958/59 nicht enthalten.


 

Methodische Probleme

Nicht immer waren die benutzten Quellen für den Erwerb unseres Wissens ohne Widersprüche zur Realität. So gibt es große Abweichungen zwischen den technischen Zeichnungen der Patentschrift und unseren Serienmaschinen.
Diese haben übrigens die Fabriknummern 10 878 705 A (E. Anthes) und 10 881 827 JJ (M. Reese). Am schwierigsten war es, Klarheit über jene Maschinenteile zu gewinnen, die sich jeder Einsicht - auch per Endoskop - versperrten; in diesem Zusammenhang danken wir der Fa. Olympus für ihre freundliche Hilfe. Die technischen Zeichnungen hat in bekannter Präzision Werner Lange ausgeführt, der viele Tage unermüdlich in die Maschine hineingeschaut hat und schließlich wußte, wie er die schwierigen mechanischen Details zu Papier bringen konnte, so daß dem aufmerksamen Betrachter die Funktionsweisen deutlich werden. Wenn es gelungen sein sollte, das Prinzip des automatischen Wurzelziehens mit diesem Artikel zu erklären, dann haben die Zeichnungen großen Anteil daran.


 

Literatur

  1. Brunsviga, Das Rechnen mit der Trinks-Brunsviga Rechenmaschine, Band 1, Band 2, Grimme, Natalis und Co, Braunschweig 1921
  2. Burghagens Zeitschrift für Bürobedarf Nr. 826 (1952), S.654: Neue "Friden"-Modelle.
  3. W. Faber, Faber-Radizierautomatik für Brunsviga-Doppelrechenmaschinen. Teil 1 in: Vermessungstechnische Rundschau 20 (1958), S.412-415; Teil 2 in: Vermessungstechnische Rundschau 21 (1959), S.5 - 12
  4. L. Ritter von Fehrentheil und Gruppenberg, Vereinfachte Quadratwurzelziehung mit der Rechenmaschine. In: Zeitschrift für Instrumentenkunde, 62 (1942), S. 227 - 230
  5. Friden, Bedienungsanleitung Mod.STW, ACG, SRW, ca. 1952
  6. Friden, Schweiz. Pat. Nr. 311 849 vom 15.2.1956
  7. E.D.Gibson, Calculating Machine Systems, Brown, Dubuque (Iowa) 1961.
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