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Der folgende Text ist ein wenig bearbeiteter Ausschnitt aus dem Büchlein "Alternativen im Mathematikunterricht" (Fritz Nestle, Lexika-Verlag, München 1986). Verweise beziehen sich auf diese Quelle. Bei Interesse erhalten Sie den gesamten Buchtext als ASCII-Datei, wenn Sie ihn per (Email)anfordern. Auch Rückmeldungen und Kritik an diese Anschrift sind erwünscht.

Die Aussagen über die Bewertungswillkür gelten in anderen Fächern weit mehr als im Mathematikunterricht.
 

1.6 Wir untersuchen ein Stück Schulalltag - Kontrolle und Bewertung von Zielen

Im Alltag des Mathematikunterrichts erfolgt die Feststellung der Mathematikkenntnisse des Schülers überwiegend durch Klassenarbeiten. Aus der Klassenarbeit entnimmt der Schüler die Forderungen des Mathematiklehrers. Unabhängig davon, ob andere Ziele des Unterrichts - auch "Bildungsziele" - angestrebt oder sogar erreicht worden sind, besteht in den Augen des Schülers die entscheidende Rückmeldung über seine Arbeit fast ausschließlich aus der Note der Klassenarbeit. Wir müssen infolgedessen davon ausgehen, daß die Klassenarbeiten die Vorstellungen des Schülers von Mathematik wesentlich beeinflussen.

Die Bedeutung der Klassenarbeiten für den Schüler rechtfertigt es, daß wir uns eingehend mit dem Thema Klassenarbeiten befassen. An die Stelle theoretischer Erörterungen setze ich eine einzelne Klassenarbeit. Diese wähle ich so aus, daß daran wesentliche Gesichtspunkte des allgemeinen Problems deutlich werden.

Eine Arbeit aus dem fünften Schuljahr ist besonders geeignet, da die Thematik dieses Schuljahrs jedem möglichen Leser dieser Schrift in der Schule unmittelbar begegnet ist. Auch jeder Mathematiklehrer hat mit dem Mathematikunterricht dieser Klasse zu tun: Entweder schafft er in der Grundschule die Voraussetzungen für die fünfte Klasse, oder er unterrichtet selbst in dieser Stufe, oder er will in seinem Unterricht auf die Ergebnisse  dieser Stufe aufbauen.

Um ein geeignetes Beispiel für unsere Überlegungen zu finden, habe ich vor einiger Zeit (1971) die gesamten Mathematikklassenarbeiten von zehn fünften Klassen der Hauptschule, der Realschule und des Gymnasiums miteinander verglichen. In jeder der untersuchten Klassen fand sich eine Arbeit, die in den Grundzügen mit der im folgenden wiedergegebenen Klassenarbeit übereinstimmt:

Beispiel einer Klassenarbeit (5. Schuljahr 1970/71; Großstadtklasse, Hauptschule; 19.11.1970)

1.) Schreibe in römischen Ziffern 936, 1 312, 989!
2.) Schreibe in arabischen Ziffern MCDLXXIV, MCCXLI!
3.) Addiere 2 654 und 1 346! Multipliziere dann die Summe mit 1 000!
4.) Bauer Mäckler verkauft ein Rind zu 1 678 DM und acht Ferkel zu je 67 DM Vom Erlös kauft er einen Häcksler. 136 DM behält er übrig. Was kostet die Maschine?
5.)Ein Händler kauft zwei teure und drei billige Fahrräder für zusammen 694 DM. Was kostet eines der billigen Fahrräder, wenn ein teures Fahrrad 158 DM kostet?

Diese Klassenarbeit habe ich in der Zwischenzeit rund fünfhundert Lehrern und Lehramtsstudenten und anderen Erwachsenen vorgelegt. Wenn Sie sich an einem Versuch beteiligen wollen, dann betrachten Sie die Arbeit nochmals, ehe Sie weiterlesen.- Ist Ihnen etwas aufgefallen?



Die bisherigen Teilnehmer an diesem Versuch haben bei der Aufforderung, sich zu äußern, unter anderem folgendes angemerkt:

- Viele Textaufgaben;
- Themenbereich Landwirtschaft für Großstadtklasse ungeschickt gewählt;
- Frage sollte bei Textaufgaben nicht vorgegeben sondern von den Schülern erarbeitet werden (Dies provozierte meistens bei den anderen Teilnehmern die Gegenthese.);
- Zu wenig Beispiele in den Aufgaben 1 und 2;

Die folgenden Bemerkungen wurden nicht gemacht, obwohl ich sie erwartet hätte:

- Die römischen Zahlzeichen sind keine Ziffern;
- Das Beispiel 989 ist problematisch; die Regeln für die römische Zahlschreibweise müssen im Detail behandelt worden sein, wenn das Ergebnis eindeutig sein soll. Abweichende Übersetzungen sind geschichtlich belegt.
- Bei Aufgabe 3 wird der Bereich bis zu einer Million überschritten.
- Die Aufgaben 4 und 5 sind in der Struktur sehr ähnlich. Aufgabe 5 ist einfacher und sollte deshalb vor Aufgabe 4 stehen.

Beim zuletzt genannten Punkt gehen die Meinungen der Versuchsteilnehmer auseinander. Die Überschreitung der Million wird überwiegend gutgeheißen. Die beiden zuerst genannten Punkte wurden von keinem Teilnehmer erkannt, aber allgemein akzeptiert.

Ein weiteres Ergebnis der jeweiligen Diskussionen verdient es, festgehalten zu werden:

 Die Auswahl der Aufgaben ist willkürlich. Der Lehrer kann  nach freiem Ermessen viele oder wenige, leichte oder schwierige Aufgaben  auswählen. Das Ermessen des Lehrers ist in der Praxis ausschließlich dadurch eingeschränkt, daß der von ihm erwartete "Durchschnitt" nicht zu nah bei 1 liegen und nicht zu schlecht sein sollte.



Der Versuch geht weiter: Entwerfen Sie eine Punktwertung für diese Klassenarbeit, ehe Sie weiterlesen. - Dieselbe Aufforderung habe ich an alle bisherigen Teilnehmer des Versuchs gerichtet. Nur in wenigen Fällen wollten die Teilnehmer vor dieser Arbeit die Gesichtspunkte, unter denen die Bewertung erfolgen soll, erörtern. Meistens hatten sie an dieser Stelle des Versuchs noch ein unbegrenztes Vertrauen in die eigene Kompetenz, auch wenn es sich nicht um Lehrer handelte.

Die folgende Tabelle gibt die Bewertungsvorschläge einer Gruppe von Realschullehrern wieder. Die 15 Teilnehmer sind aus einer größeren Gruppe zufällig ausgewählt in der Weise, daß in die Tabelle die beim Einsammeln der Vorschläge oben liegenden der Reihe nach aufgenommen worden sind.

    Aufgabe     Teilnehmer
             1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15
 
    I        1  3  4  6  3  3  3  3  3   3   2   3   3   3  1.5
    II       1  2  4  5  3  2  3  2  3   2   2   2   2   1  1
    III      2  2  3  6  1  2  4  2  1   3   4   2   2   3  0.5
    IV      3  3  3  8  5  4  5  4  4   5   6   3   4   4  3
    V       3  3  6  9  6  5  5  4  5   6   6   3   4   5  3

Sie können jetzt Ihre Punktwertung mit den oben abgedruckten vergleichen. Es ist ganz unwahrscheinlich, daß eine davon mit Ihrer Punktzuweisung übereinstimmt.

Keine zwei dieser Bewertungen stimmen paarweise bei allen Aufgaben überein. Auch bei der Gesamtpunktzahl gibt es große Abweichungen. Diese schwankt zwischen dem kleinsten Wert 9 und dem größten Wert 34. Diese Schwankungen sind indessen weniger wichtig und aufschlußreich als die relativen Bewertungen der Aufgaben untereinander.

Es ist unerheblich, ob die Aufgaben der Reihe nach mit 1,1,2,3 und 3 oder mit 3,3,6,9 und 9 bewertet werden. Dies ändert nur die Gesamtpunktzahl, während bei diesen beiden Beispielen die Verhältnisse zwischen den Bewertungen der Einzelaufgaben übereinstimmmen.

Interessanter ist der Vergleich der Verhältnisse: Die Teilnehmer 1 und 11 bewerten Aufgabe 3 mit der doppelten Punktzahl wie Aufgabe 1; dagegen erhält Aufgabe 3 bei den Teilnehmern 5, 9 und 15 nur ein Drittel der Punkte, die diese Kollegen für Aufgabe 1 vorsehen. Die Gewichte verhalten sich also wie 1:6. Entsprechend fällt der Beitrag von Aufgabe 3 zur Gesamtpunktzahl aus: Bei 1, 7, und 11 liefert die Aufgabe 3 einen Beitag von 20% zur Gesamtpunktzahl; dagegen ist diese Aufgabe bei 5 und 15 nur mit 5% an der Gesamtpunktzahl beteiligt.

Die Untersuchung der anderen Aufgaben zeigt ebenfalls beträchtliche Schwankungen des Beitrags der jeweils betrachteten Aufgabe zur Geamtpunktzahl ebenso wie für das Verhältnis der Bewertungen der Aufgaben untereinander.

Wenn wir von der Gruppe von 15 Teilnehmern auf die Gesamtheit aller bisherigen Teilnehmer an dem Versuch übergehen, ergeben sich keine prinzipiell neuen Gesichtspunkte. Die Schwankungsbreite für die Gesamtpunktzahl nimmt, wie zu erwarten, noch etwas zu. Auch die Verhältnisse der Punktzahlen für die Bewertung eines beliebig herausgegriffenen Paares vom Aufgaben werden noch extremer. Größere Abweichungen als die aufgezeigten treten nur noch bei einem kleinen Teil der Versuchsteilnehmer auf. - Sie können nun bei Ihrem eigenen Versuch leicht feststellen, ob Ihre Punktzuweisungen im Rahmen der Bewertungen unserer Teilgruppe liegen.

Das Ergebnis dieses Versuchsschritts wollen wir festhalten:

Die Zuweisung von Punkten zu den Aufgaben ist willkürlich. Es steht im  freien Ermessen des Lehrers, wie viele Punkte er insgesamt vergeben und wie er diese Punkte auf die einzelnen Aufgaben einer Klassenarbeit verteilen will.

Nachdem wir bei den Punktzuweisungen so große Abweichungen festgestellt haben, ergibt sich natürlicherweise die Frage, nach welchen Gesichtspunkten der einzelne Versuchsteilnehmer seine Punkte vergeben hat. Bezüglich der Gesamtpunktzahl können wir zwei Gruppen unterscheiden:

- Die erste Gruppe verwendet eine feste Gesamtpunktzahl. Unabhängig von der speziellen Klassenarbeit richtet der eine seine Punktzuweisungen so ein, daß er die Punktsumme 100 erhält, während andere Bewerter Punktsummen von 15, 20, 24 , 36 oder 48 bevorzugen.

- Die Mitglieder der zweiten Gruppe gehen von der Bewertung der Einzelaufgaben aus; die Punktsumme wird erst nach der Bewertung der Einzelaufgaben berechnet.

Ein Bewertungsschema läßt sich, wenn man von Rundungsproblemen absieht, leicht proportional in ein anderes mit einer anderen Gesamtpunktzahl umrechnen. Für das folgende beschränke ich mich daher auf die Erörterung von Gesichtspunkten, nach denen der einzelnen Aufgabe eine Punktzahl zugewiesen wird. Ich nenne die wichtigsten Gesichtspunkte, die von den Versuchsteilnehmern offengelegt wurden. Wie nicht anders zu erwarten, sind die Argumentationen widersprüchlich:

- Den schwierigeren Aufgaben gebe ich eine höhere Punktzahl als den leichteren, weil die Bearbeitung dieser Aufgaben höhere Anforderungen an den Schüler stellt.
- Den leichteren Aufgaben gebe ich mehr Punkte als den schwierigen, damit auch meine schwachen Schüler eine Chance haben.
- Ich gebe umso mehr Punkte für eine Aufgabe, je mehr Zeit die Schüler für die Aufgabe brauchen.
- Für jedes Zwischenergebnis gebe ich einen Punkt.
- Für jeden Denkschritt bei der Lösung gebe ich einen Punkt.

Auf die Probleme, die mit den Begriffen "leichte" Aufgabe, "Bearbeitungszeit" und "Zahl der Denkschritte" zusammenhängen, will ich an dieser Stelle noch nicht eingehen. Sie selbst können jedenfalls, wenn Sie bisher an unserem Versuch teilgenommmen haben, überlegen, nach welchen Gesichtspunkten Sie Ihre Bewertung vorgenommen haben, und wie Sie Ihre Bewertungsgesichtspunkte rechtfertigen. Vielleicht stimmen Sie dann den folgenden Bemerkungen zu:

- Die beiden ersten Gesichtspunkte stehen in enger Verbindung zum Verhältnis der Anzahl der leichten und der schwierigen Aufgaben. Durch Verschieben dieses Verhältnisses kann der Einfluß auf die von den Schülern erreichten Gesamtpunktzahlen weitgehend ausgeglichen werden. Wenn schwierigere Aufgaben mit höherer Punktzahl bewertet werden sollen, dann darf die Anzahl dieser Aufgaben nicht zu groß sein, sofern der Lehrer einen "ordentlichen" Durchschnitt erzielen will. Entsprechendes gilt für die Zahl der leichten Aufgaben.

- In beiden Fällen wird vorausgesetzt, daß die "Schwierigkeit" der Aufgabe vom Lehrer richtig eingeschätzt wird.

- Wenn die Arbeitszeit das ausschlaggebende Kriterium ist, wird die Einschätzung durch den Lehrer problematisch. Soll nur die mittlere Arbeitszeit in Ansatz gebracht werden? Andernfalls läßt sich die Tatsache nicht berücksichtigen, daß die Verhältnisse der Arbeitszeiten für ein gegebenes Paar von Aufgaben in hohem Maß von den einzelnen Schülern abhängen.

Je nach Ansatz ergeben sich mehr oder weniger Zwischenergebnisse bei der Bearbeitung einer Aufgabe. Manche Schüler fassen verschiedene Lösungsschritte im Kopf zusammen. Dann sind nicht alle Zwischenergebnisse überprüfbar, wenn eines des angegebenen Teilergebnisse falsch ist.

- Der zuletzt genannte Gesichtspunkt kann nur dann angewendet werden, wenn sich die Zahl der Denkschritte erfassen läßt. Bei der Anwendung dieses Gesichtspunktes kommt es nicht nur zu Meinungsverschiedenheiten unter verschiedenen Versuchsteilnehmern, sondern auch hier ist wieder der einzelne Schüler ausschlaggebend. Die Zahl der Denkschritte ist keine objektive Größe; sie hängt vielmehr vom speziellen Lösungsweg des einzelnen Schülers ab.

Unter Umständen hat die soeben abgeschlossenen Darlegung dazu geführt, daß Sie selbst sich erst jetzt über die Gesichtspunkte klar geworden sind, nach denen Sie den  einzelnen Aufgaben Punktzahlen zugewiesen haben. Vermutlich haben Sie keinen der aufgeführten Gesichtspunkte isoliert angewendet, sondern diese kombiniert, wobei die Gewichtung sogar bei jeder Anwendung eine andere gewesen sein kann.

Die Wissenschaft kann Ihnen für die Frage der Punktzuweisung keine verbindliche Vorschrift geben. Allerdings kann man die Zweckmäßigkeit der einzelnen Aspekte unterschiedlich einschätzen im Hinblick auf die Anwendung des Punkteschemas auf eine konkrete Schülerarbeit. Dafür sind natürlich solche Punktzahlen günstiger, die unmittelbar an beobachtbare Verhaltensäußerungen der Schüler geknüpft sind. Dies ist am einfachsten, wenn man die Punkte für die Zwischenergebnisse vergibt. Bei diesem Vorgehen tauchen nur dann Probleme auf, wenn die Schüler unterschiedliche Lösungsverfahren anwenden.



Wir wollen unseren Versuch damit fortsetzen, daß wir die Punktzuweisung an erreichbare Teilergebnisse binden:

- Für jedes richtige Teilergebnis in Aufgabe 1 geben wir einen Punkt. Aufgabe 1 erhält also zusammen 3 Punkte.
- Für jedes richtige Teilergebnis in Aufgabe 2 geben wir gleichfalls einen Punkt. Aufgabe 2 erhält also zusammen 2 Punkte.

Schon hier hätte sich die Frage der Berücksichtigung der Schwierigkeit stellen können. Aufgabe 1 wird allgemein eine größere Schwierigkeit zuerkannt als der Aufgabe 2. (Bei Aufgabe 1 muß der Schüler einen Sachverhalt aus einer ihm in der Regel vertrauten Darstellung in eine ihm weniger vertraute Darstellung übersetzen und dabei die Darstellungsregeln der fremden Darstellung aktiv beachten. Dagegen liegt bei Aufgabe 2 die fremde Darstellung in korrekter Schreibweise vor. Es gibt daher plausiblere und weniger plausible Übersetzungen.) Innerhalb der Aufgabe 1 weisen die Teilaufgaben gleichfalls verschiedene Schwierigkeit auf; die dritte Teilaufgabe ist vermutlich die schwierigste.



Während bei den Aufgaben 1 und 2 die Teilergebnisse bereits additiv aus der Aufgabenstellung hervorgehen, müssen die wahrscheinlichen Teilergebnisse bei den Aufgaben 3 bis 5 aus der Aufgabenstellung entwickelt werden. Wenn Sie sich weiterhin am Versuch beteiligen, lesen Sie bitte erst weiter, wenn Sie die Aufgabe 3 in Teilschritte zerlegt haben. - Sicher haben Sie einige der folgenden Schritte überlegt:

- Erkennen der Reihenfolge der Operationen
- Erkennen der ersten Operation (Addition)
- Lesen und übertragen der Operanden (Diese sind 2 654 und 1 346.)
- Ausführen der ersten Operation (Berechnen der Summe, hier 4 000)
- Erkennen der zweiten Operation (Multiplikation)
- Lesen und übertragen der Operanden (Diese sind 4 000 und 1 000.)
- Ausführen der zweiten Operation (Berechnen des Produkts, hier 4 000 000)
- Hervorheben des Ergebnisses

Wir sind auf acht Teilschritte gekommen. Diese haben unterschiedliches Gewicht, und sie hängen stark an der Formulierung des Textes. Zum Beispiel könnte der 1. Teilschritt bereits zu einem häufigen Fehler führen, wenn der Term (2 654 + 1 346)*1 000 etwa so in Text umgesetzt würde: "Multipliziere die Summe von 2 654 und 1 346 mit 1 000." Manche Schüler würden dann versuchen, als erstes eine Multiplikation auszuführen, und würden dies auf unterschiedliche Weise realisieren.

In vielen Versuchsgruppen haben wir uns auf die folgende Punktzuweisung geeinigt:

- Erkennen der ersten Operation und der zugehörigen Operanden (2 654 + 1 346),
- Ausführen der ersten Operation (Ergebnis: 4 000),
- Erkennen und Ausführen der zweiten Operation (4 000*1 000 = 4 000 000).

Aufgabe 3 erhält damit 3 Punkte.

Bei den beiden anderen Aufgaben teile ich nur das Ergebnis der Diskussion mit:

Für Aufgabe 4 werden 4 Punkte vergeben, und zwar für

- Einnahmen für die Ferkel (67DM*8 = 536 DM)
- Gesamteinnahmen (536 DM + 1 678 DM = 2 214 DM)
- Kosten der Maschine (2 214 DM - 136 DM = 2 078 DM)
- Ergebnissatz und korrekte Benennungen  (Der Häcksler kostet 2 078 DM).

Eine entsprechende Bewertung von Aufgabe 5 mit gleichfalls 4 Punkten:

- Kosten für die teuren Fahrräder (158 DM*2 = 316 DM)
- Gesamtkosten der billigen Fahrräder (694 DM - 316 DM = 378 DM)
- Kosten für ein billiges Rad (378 DM:3 = 126 DM)
- Ergebnissatz und korrekte Benennungen (Jedes der billigen Fahrräder kostet 126 DM)

Hauptdiskussionspunkte bei diesem Einigungsverfahren waren Fragen der äußeren Form der Darstellung der Lösung sowie die getrennte Bewertung für Ansatz und Rechnung.



Wenn Sie sich mit diesem Bewertungsschema vertraut gemacht haben, wird die Fortsetzung des Versuchs besonders interessant: Sie finden im Anhang 1 die Wiedergabe einer Schülerbearbeitung dieser Klassenarbeit, bei der die Korrekturbemerkungen des Lehrers entfernt worden sind. Wenden Sie das Korrekturschema auf die abgedruckte Bearbeitung an,ehe Sie weiterlesen!


Wie viele Punkte haben Sie dem Schüler gegeben? Aus der Tabelle können Sie entnehmen, wie 73 Lehrer korrigiert haben.

Punktzahl:       9     10     11     12     13     14     15
Häufigkeit:      1      4     19     20     20      8      1

81 % der Kollegen habe also 11, 12 oder 13 Punkte zugewiesen. Die zugewiesenen Punktzahlen streuen jedoch im Bereich von 7 Werten. (Es war vereinbart worden, im Ergebnis nur ganze Punktzahlen auszuweisen.)

Wir können festhalten, daß die eingehende Erörterung des Bewertungsschemas nicht verhinden konnte, daß so große Abweichungen aufgetreten sind. Trotz unserer Vorarbeit blieb wieder ein hohes Maß von Unbestimmtheit:

Bei der Zuweisung von Punkten für eine gegebene Bearbeitung einer Klassenarbeit durch einen Schüler bleibt weiter Raum für Willkür, auch wenn der Korrekturmaßstab festgelegt ist. (Die Auswertungsobjektivität ist gering.)

Der Spielraum des Ermessens bei der Zuweisung von Punkten für Lösungsschritte des Schülers ist beträchtlich. Er ist so groß, daß im konkreten Fall trotz eines fest vereinbarten Bewertungsschemas zwischen 50% und 83 % der maximal erreichbaren Punktzahl für einen im Mittelfeld liegenden Schüler zugewiesen werden können.

Wieder suchen wir nach Gesichtspunkten, die für derartige Abweichungen verantwortlich sind:

- Wird für jeden Fehler gleichviel von der erreichbaren Punktzahl abgezogen? (In der ersten Teilaufgabe von (2) sind zwei Ziffern falsch.)
- Werden unklare Schriftzeichen als Fehler bewertet (Aufgabe 1, 3. Teilaufgabe: M oder X als zweites Zahlzeichen)?
- Wie wird eine unvollständige Rechnung bewertet? (Komplizierte Antwort in Aufgabe 3 auf eine falsche Frage: "Das war nicht gefragt" beziehungsweise "Die Multiplikation mit 1 000 hätte ihm keine Schwierigkeiten gemacht")
- Wie wird eine richtige Rechnung mit einem falschen Zwischenergebnis bewertet?(Aufgabe 5: 315 DM:3 = 105 DM)
- Wie wird eine logisch falsche Antwort bei richtiger Rechnung bewertet? (Aufgabe 4: "Er muß noch bezahlen"; Aufgabe 5: "5 Fahrräder zu je")
- Werden Schreibfehler in die Wertung einbezogen? (Aufgabe 4: Farkel; Aufgabe 5: Fahhräder, fehlender Schlußpunkt)
- Welches Gewicht wird der äußeren Darstellung beigemessen (Schrift, Unterstreichung von Zwischenergebnissen, Anordnung, Nebenrechnungen)?

In der Tabelle sind nur die Punktsummen wiedergegeben. Die oben wiedergegebenen Gesichtspunkte machen verständlich, daß die Abweichungen bei den Einzelaufgaben prozentual noch weitaus größer sind.



Unser Versuch ist fast abgeschlossen. Es fehlt nur noch die Note, die wir dem Schüler geben. Sie können jetzt, falls Sie dies nicht schon bei der Korrektur mit erledigt haben, selbst eine Note festlegen, ehe Sie weiterlesen!

Die beste Note, die von den bisherigen Versuchsteilnehmern vergeben worden ist, war 2,5  und die schlechteste 4. - Wie steht es mit der Umsetzung von Punktzahlen in Noten, steckt auch in diesem Schritt nochmals ein Willkürakt? Hören Sie auch dazu die Erläuterungen der Versuchsteilnehmer:

- Für 18 Punkte gebe ich eine 1; für jeden fehlenden Punkt ziehe ich eine Viertelsnote ab.
- Die halbe Punktzahl gibt 4; damit versuche ich, hinzukommen.
- Wenn ich alle Arbeiten korrigiert habe, mache ich eine Einteilung so, daß mein Durchschnitt zwischen 2,5 und 3,5 liegt, je nach dem, ob die Arbeit gut oder schlecht ausgefallen ist. (Was heißt "gut" beziehungsweise "schlecht" ausgefallen?)
- Ich habe eine Tabelle für die Normalverteilung. Damit ist bei mir die wissenschaftliche Notengebung von vornherein gesichert!

Unser letztes Teilergebnis:

Die Umsetzung von Punkten in Schulnoten ist willkürlich. Es steht in freiem Ermessen des Lehrers, wie er zu einer gegebenen Punktzahl die zugehörige Note festlegen will.

Die letzte Feststellung stimmt in Baden-Württemberg nicht mehr seit dem 24.1.1979:

"1. Bei der Bewertung einer schriftlichen Arbeit unter Verwendung eines Punkte-Systems liegt die Leistungsbewertung allein in der Vergabe der Punkte. Deren Umsetzung in das Notensystem ist rein arithmetischer Art. Sie ist einer erneuten pädagogisch-fachlichen Gesamtwertung nicht zugänglich. ..."(Verwaltungsgerichtshof Baden-Württemberg, Urt. vom 24.1.1979 - XI 1690/76 H). Das Gericht führt in seinem Urteil ferner aus, daß "Note = Note" sei und deshalb die Abstände zwischen den Noten proportional zu den Abständen zwischen den Punkten sein müssen.

Unser Versuch hat gezeigt, daß die Vergabe einer Note für die Bearbeitung einer herkömmlichen Klassenarbeit für einen einzelnen Schüler innerhalb einer Klasse nicht nach vorab festgelegten Regeln erfolgt. Die Note entsteht vielmehr in einer Folge von Entscheidungsakten des verantwortlichen Lehrers:

                    - Auswahl der Aufgaben
                    - Festlegung des Bewertungsschemas
                    - Zuweisung von Punkten zu Schülerleistungen
                    - Übersetzung der Punktsumme in eine Note.

Der Hinweis, daß die Mittelwerte der Bewertungen nach dem Gesetz der großen Zahlen relativ stabil sind, hilft den von den Abweichungen betroffenen Schülern nicht. Diese Abweichungen können beträchtlich sein. Vergleichen Sie die Tabelle der 73 erfahrenen Lehrer mit der entsprechenden Tabelle von 98 Lehramtsstudenten:

Punktsumme      7   7,5   8   8,5   9   9,5   10   10,5   11
Häufigkeit     16   7    25   8    21   4     10    1      6

Hier ist die Zahl der an den Flanken der Verteilung liegenden Schüler beträchtlich größer. (F Siehe auch Maier, Leistungsbewertung im Fach Mathematik, BzM 1980, S. 217 -221)

Für den Abnehmer mathematischer Fertigkeiten - und insbesondere für den Schüler selbst - ist die Note für eine Erfolgskontrolle im Mathematikunterricht nur ein Teilaspekt. Beide hätten gern eine Information darüber, was im Detail als mathematische Leistungsfähigkeit angesehen wird!

Es kann nicht das Ziel unserer Überlegungen sein, einen unbefriedigenden Zustand anzuprangern, wenn es nicht konkrete Möglichkeiten zur Verbesserung der Situation gibt.   Sicherlich können wir für lange Zeit nicht auf konventionelle Klassenarbeiten verzichten. Wir müssen uns freilich darüber im klaren sein, daß die Ergebnisse solcher Klassenarbeiten nicht als objektive Meßwerte angesehen werden können. Insbesondere aber müssen wir alles daransetzen,

                   - die Klarheit über die Zielsetzungen des Unterrichts zu verbessern,
                   - die Objektivität der Kontrollen zu vergrößern und
                   - die Willkürentscheidungen transparenter zu machen.

Ein Teil dieser Bemühungen zielt auf Veränderungen im Schulsystem ab. Wir werden jedoch sehen, daß auch der einzelne Lehrer viele Möglichkeiten besitzt, mit denen er zur Verwirklichung der eben genannten Forderungen beitragen kann. Wir werden zudem aufdecken können, daß die Beschäftigung mit diesem Thema nicht nur der Notengebung dient, sondern zugleich auch neue methodische Möglichkeiten eröffnet.
Als langfristiges Ziel müssen wir es - im Anschluß an die Eröterungen im Abschnitt 1.5 - ansehen, daß die Festlegung und Überprüfung der Ziele in einer Form erfolgt, die dem Prüfungsverfahren mehr Objektivität sichert. Dies ist umso weniger verzichtbar, je mehr Berechtigungen vom Ergebnis solcher Überprüfungen abhängen.

Zur Transparenz gehört auch, daß die Bewertung der Aufgaben mit Punkten den Schülern vor Beginn der Arbeit mitgeteilt wird.

Es ist klar, daß mit einer vergrößerten Objektivität der Lernerfolgskontrolle auch die Arbeit des Lehrers bis zu einem gewissen Maß überprüfbar wird; dies wird jedoch den verantwortlich arbeitenden Lehrer nicht erschrecken und dazu beitragen, das Ansehen des Lehrberufs in der öffentlichen Meinung wieder zu steigern. Wie man eine solche Objektivität erreichen kann, soll im nächsten Abschnitt erörtert werden.
 

Nachstehend finden Sie das Inhaltsverzeichnis des Büchleins. Zu Beginn dieser Datei finden Sie einen Email-Kontakt, über den Sie alle Kapitel als ASCII-Datei erhalten können.

 1 Ziele und ihre Formulierung
1.1 Mathematikkenntnisse und Glühlampen - zum bleibenden Ergebnis des Mathematikunterrichts.
1.2 Der ideale Mathematikunterricht
1.3 Lehrerrolle: Monopolkonzentration oder Gewaltenteilung
1.4 Festlegung von Zielen durch Lehrpläne
1.5 Eine Alternative: Qualifikationen
1.6 Wir untersuchen ein Stück Schulalltag - Kontrolle und Bewertung von Zielen
1.7 Konstruktion von Aufgaben
1.8 Zur Problematik der Meßmodelle
1.9 Die Auswahl von Aufgaben
1.10 Die Ziele des Mathematikunterrichts und das Selbstverständnis des Lehrers
2 Medien und ihr Einsatz
2.1 Rückblick
2.2 Medien für den Mathematikunterricht
2.3 Zur Bewertung von Unterrichtsmedien
2.4 Beispiele für Medien im Mathematikunterricht
3 Methoden und ihre Umsetzung
3.1 Einführung
3.2 Zur Rolle der Lerntheorien
3.3 Wie Mathematik unterrichtet wird
3.4 Die Lehrerrolle in einem langfristigen Unterrichtsversuch - eine methodische Alternative
3.5 Die Aktivierung der Schüler für die Optimierung des Lernprozesses
Zusammenfassung
Quellen und Anmerkungen

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