Mathematik und Kognitionsentwicklung

Nach mehr als 30 Jahren der Beschäftigung mit der Verbesserung von Mathematikunterricht kam bei mir der Zeitpunkt, an dem ich vorurteilsfrei über den Zweck des Mathematikunterichts nachzudenken begann. Im Ergebnis ist vieles "frag"-würdig geworden, wofür ich vorher unreflektiert gearbeitet hatte. Auf der GDM-Tagung 1992 habe ich zum ersten Male darüber vorgetragen. Nachstehend finden Sie als ersten Schritt der Diskussion die

 Kurzfassung eines Vortrags auf der GDM-Jahrestagung 1992 in Freiburg (Schweiz)

"Fritz NESTLE, Ulm (Ludwigsburg)

Mathematik und andere Wege zum Erwerb kognitiver Grundqualifikationen

Hinführung

Das Thema scheint in der Luft zu liegen: Mehr als zehn Beiträge zur 27. Bundestagung für Didaktik der Mathematik beschäftigen sich direkt oder indirekt mit der Notwendigkeit eines Wandels bei den Zielen des Mathematikunterrichts. Loethe [1] spricht zum Beispiel vom "Nachexerzieren einer zahlenorientierten, meist obsoleten Kalkülmathematik durch Schüler". Voigt [2] geht sogar von "einer weitgehenden Ritualisierung des Mathematikunterrichts" aus und stellt dazu die Frage "Sind wir mitschuldig daran, daß Eltern ihre Kinder vor der Schulzeit in der Entwicklung ihrer mathematischen Kompetenz zu bremsen versuchen?".

Tatsache ist leider, daß das Erscheinungsbild der Mathematikdidaktik im Schaufenster der diesjährigen Bundestagung sonst wieder erstaunlich "konservativ" ist; das NEW-MATH-Abenteuer der Siebzigerjahre wird erfolgreich verdrängt, der Wandel der Gesellschaft ignoriert. Nicht einmal die Diskussion über die Dauer der Schulzeit spiegelt sich in den Kurzfassungen der Beiträge wieder. Es sind Außenseiter, die versuchen, eine Zieldiskussion in Gang zu setzen oder konkret moderne Hilfsmittel propagieren. Die Schulmathematik ist in Gefahr, zum Initiationsritus zu verkommen (Vergl. [3]).

Wozu wird in den Schulen Mathematik gelehrt? Begründungen sind unter anderem

- Mathematik trägt zur Persönlichkeitsbildung bei.

Sie führt "den Menschen (Schüler) von der äusseren Sinneserkenntnis weg (durch Abstraktion) hin zur inneren, seelisch-geistigen Erkenntnis (Schau, theoria)" [4]. Mathematik steht damit in Konkurrenz zu anderen Inhalten, die gleichfalls zur Persönlichkeitsbildung beitragen. Davon gibt es viele, auch solche, die für den einzelnen - oder für die Gesellschaft - attraktiver sind.

- Die Mathematiker brauchen Nachwuchs.

Dies betrifft nur einen verschwindend kleinen Teil der Bevölkerung. So geht zum Beispiel nur aus jeder tausendsten Schulklasse eines Jahrgangs ein Hochschulmathematiker hervor. (Berechnet nach [5])

- Mathematik wird als Hilfswissenschaft für Technik und Wirtschaft benötigt.

Bei diesem Grund muß die Frage lauten "Welche Mathematik?". Vor vierzig Jahren wurde in der angewandten Mathematik an der Universität noch gelehrt, wie man durch abgekürzte Verfahren bei der Multiplikation mehrstelliger Zahlen ohne nennenswerten Verlust an Genauigkeit 40 % der Rechenzeit sparen konnte und damit zum Beispiel die Zeit für die Berechnung des Produkts zweier achtstelliger Zahlen von zwei Minuten auf rund eine Minute drücken konnte. Der übliche Tischrechner braucht dazu heute weniger als den millionsten Teil einer Sekunde. Kann

man es unter diesen Umständen noch rechtfertigen, mehrere Wochen Unterrichtszeit auf die sichere Beherrschung des Multiplikationsalogithmus zu verwenden?

Ist es nicht besser, nur die Grundideen der Multiplikation und zusätzlich ein Gefühl dafür zu vermitteln, wie schnell der Rechenknecht solche Aufgaben lösen kann?

Ist es nicht jammerschade, daß die Kinder landauf-landab sechs Monate lang mit Bruchrechnen traktiert werden - mit dem bekannt schlechten Erfolg für das Rechnen und für die Bildung des Begriffs der rationalen Zahl? Die Liste der Entrümpelungsvorschläge (für Algebra, für Differential- und Integralrechnung, ...) könnte so fortgesetzt werden, daß mehrere Unterrichtsjahre frei würden für andere Dinge. Man spricht von lean production und lean management.

Die Zeit, die im Mathematikunterricht freigeschaufelt werden kann, ist gut angewendet bei einem grundlegenden Kognitionstraining, das die Bewältigung von Komplexität unterstützt.

Die Problematik der Komplexität wird unter anderem beim Umgang mit modernen Softwarepaketen deutlich. Viele Anwender wünschen Rezepte auf der Ebene von Tastenfolgen; sie schaffen den Sprung zur Trennung von Funktion und Aufruf nicht, und sie müssen deshalb bei kleinen Zugangsänderungen oder Funktionserweiterungen neu geschult werden. Kinder sind anders [6] - auch hier. Kinder besitzen eine natürliche Unbefangenheit und Aufgeschlossenheit, die ihnen am Computer Überlegenheit über die Mehrzahl der Erwachsenen verleiht.

Bei etwas abstrakterer Betrachtung sehen wir, daß wir die meisten Inhalte menschlicher Kognition (in Vereinfachung der vor ein bis zwei Jahrzehnten diskutierten Taxonomien) mit wenigen Schlagworten beschreiben können:

- Wissen,

- Regelbeherrschung,

- Semantik,

- Assoziation.

Die ersten beiden Schlagworte sollen nachfolgend genauer erörtert werden:

Wissen

Ein Bereich des Mathematikunterrichts, in dem das Wissen die übrigen Aspekte zurückdrängt, ist das Einmaleins. Im schlechtesten Fall werden 100 Einmaleinssätzchen durch Aufteilung in den Reiz <Faktor>*<Faktor> und die Reaktion <Produkt> abfragbar gemacht. Bei diesem Vorgehen werden spätere Fehler mit der Null begünstigt. Es entsteht ferner keine freie Verfügbarkeit über die Wissensbasis. Die operative Durcharbeitung der auf 121 Einmaleinssätzchen erweiterten Wissensbasis mit Nachbarschaften und Umkehrungen wäre ein Ziel, von dem nach entsprechenden Abstraktions- und Kodierungsübungen auch ein Transfer auf andere Wissensgebiete erwartet werden könnte.

Zwei weitere Gesichtspunkte können am Beispiel der Wissensbasis Einmaleins angesprochen werden. Sie kommen bei der Betrachtung von Inhalten häufig zu kurz:

- der Zeitaufwand für die Erarbeitung einer Wissensbasis,

- die Enge des menschlichen Bewußtseins.

Letzteres kann nur eine begrenzte Informationsmenge im raschen Zugriff halten. Diese beiden Gesichtspunkte werden oft nicht berücksichtigt, wenn es um die Auswahl von Lerninhalten geht. (Stichwort Hochschulreform!)

Die kybernetische Pädagogik hat sich um die Verbesserung der Lernbarkeit eines Wissensgebietes bemüht. Ihre Ansätze zur Verringerung des subjektiven Informationsvolumens für einen gegebenen Sachverhalt als Grundlage für die Lernbarkeit von Inhalten sind leider weitgehend abstrakt und unbekannt geblieben. Es wurde empirisch nachgewiesen, daß durch geeignete, durch Selbstorganisation im Gehirn entstehende Umkodierung das Informationsvolumen steigt, das im Bewußtsein verarbeitet werden kann.

Übungen zur Kodierung und Dekodierung können den Prozeß erleichtern .Im Rahmen der NEW-MATH hatten solche Übungen zum Beispiel bei der Behandlung von nichtdezimalen Stellenwertsystemen in großem Umfang Eingang in den Unterrichtsalltag gefunden. Sie sind bei der Rücksetzung der Lehrpläne in Deutschland wieder weitgehend verschwunden. Ein gezielter Ersatz für das Training dieser kognitive Grundqualifikation fehlt jetzt.

Noch ein Seitenblick auf ein Wissensgebiet, mit dem Kinder von ersten Klassen zu tun haben: Das Erlernen der Schriftzeichen. Bei uns werden im ersten Schuljahr rund 50 Buchstaben, zehn Ziffern und noch einige Junktoren - zusammen nicht mehr als 80 Zeichen - vermittelt. In Japan schreibt der Lehrplan für den gleichen Zeitraum das Erlernen von 881 verschiedenen Schriftzeichen vor. (Siehe dazu Korrekturbemerkung)

Bei der japanischen Lernaufgabe wird eine viel höhere Lernqualifikation erreicht. Sie bereitet in weit größerem Maß auf den Umgang mit Komplexität vor als unsere Anforderungen: Ein Anlaß zum Nachdenken, was alles als Wissensbasis den Kindern künftig eingetrichtert werden soll. Während Schrift und Einmaleins - vorläufig - unverzichtbar sind, kann in vielen anderen Wissensbereichen die externe Datenbasis den Vorrang erhalten. Strategien zu deren Nutzung werden immer wichtiger.

Regelbeherrschung

Die Algorithmen für die schriftlichen Rechenverfahren waren vor 500 Jahren ein gewaltiger Fortschritt. Die schulische Arbeit beim Lösen von linearen oder quadra-tischen Gleichungen oder bei der Kurvendiskussion hat seitdem diese Gebiete weitgehend auf Algorithmen reduziert. Zu deren Beherrschung werden gleichfalls viele Unterrichtsmonate aufgewendet, die heute eine bessere Verwendung finden könnten.

Die Software löst auch hier die üblichen Aufgaben inzwischen im Sekundenbereich. Man muß nur mit ihr umgehen können. Und diesen Umgang kann man schon bei den heutigen, höchst unvollkommenen, Oberflächen in wenigen Stunden lernen. Wenn eines Tages die Oberfläche nicht mehr vom Informatiker kommt, sondern, wie schon bei den Standardprogrammen, elementare Regeln der Softwareergonomie berücksichtigt werden, nehmen die Einarbeitungsprobleme weiter ab. Der Aufgabenbereich, der bearbeitet werden kann, nimmt dagegen stark zu, weil die Beschränkungen der Schulbuchaufgaben bezüglich des Umfangs der Zahlenrechnung und der zugelassenen Funktionen wegfallen.

Die Diskussion über die Zulässigkeit von Formelsammlungen hat jahrelang gedauert. Jetzt ist eine Diskussion über die Vorteile der Nutzung von Softwaretools und Datenbanken angezeigt: Für die klassischen Aufgaben der Mathematik sind in den vergangenen drei Jahrzehnten Werkzeuge in Form von programmierten Algorithmen entstanden. Der Gebrauch eines Werkzeugs als black box (Vergl. [7]) macht die Lösung vieler Aufgaben möglich, die ohne Werkzeug gar nicht oder nur bei unbegrenzter Arbeitszeit bewältigt werden können: Werkzeuggebrauch als neues Ziel!

Zusammenfassung

Wenn Bewältigung von Komplexität als vordringliches Ziel akzeptiert ist, kann man auf den Gebrauch von Werkzeugen nicht verzichten. Um Werkzeuge auf einer nicht im Gedächtnis gespeicherten Wissensbasis einsetzen zu können, braucht man neue Qualifikationen.

Kodieren und Dekodieren, logische Verknüpfungen von Aussagen, Experimentier- und Suchstrategien sowie Werkzeuggebrauch sind Grundqualifikationen, für deren Vermittlung im Mathematikunterricht reichlich Zeit bliebe, wenn man einige alte Zöpfe etwas kürzen würde. Hätten die Proselytenmacher der NEW-MATH etwas mehr Nachdruck auf die Entwicklung des Zahlbegriffs gelegt, so müßten diese Tätigkeiten heute nicht von neuem als wichtige Arbeitsbereiche schon ab der Grundschule gefordert werden.

Literatur

[1] Loethe, Herbert: Vortragsanmeldungen zur 27. Bundestagung für Didaktik der Mathematik in Freiburg (CH) 1993, S. 38

[2] Voigt, Jörg: Vortragsanmeldungen zur 27. Bundestagung für Didaktik der Mathematik in Freiburg (CH) 1993, S. 45

[3] Prahl, Hans-Werner: Hochschulprüfungen - Sinn oder Unsinn (Sozialgeschichte und Ideologiekritik der akademischen Initiationskultur), Kösel, München 1976

[4] Gruber, Josef/Niese, Erwin: Vortragsanmeldungen zur 27. Bundestagung für Didaktik der Mathematik in Freiburg (CH) 1993, S. 27

[5] Statistisches Jahrbuch für die Bundesrepublik Deutschland 1990

[6] (Deutscher Titel eines Buchs von Maria Montessori)

[7] Maaß, Jürgen: Black Boxes im Mathematikunterricht - Prinzipielle Überlegungen zur Notwendigkeit einer Neubewertung, Vortragsmanuskript (IDM Bielefeld), überreicht vom Verfasser "

Kritik und Anregungen erbeten an (nestle1@t-online.de)
 

In Deinem Artikel "Mathematik und andere Wege..." steht, dass hier in Japan
Kinder der ersten Klasse (wenn ich recht verstehe?)  881 verschiedene
Schriftzeichen lernen.  Die 881 Schriftzeichen sind Lernziel fuer die 6
Jahre Volksschule. Im ersten Jahr lernen die Kinder 80 Schriftzeichen, dazu
Hiragana und Katagana und einige Besonderheiten der japanischen
Schreibweise. Das duerfte dann nochmals 90 Zeichen geben.

Mit Zahlen sollen die Schueler im ersten Schuljahr bis 100 vertraut gemacht
werden. Die japanischen Zahlen sind in den 80 Schriftzeichen enthalten. Mit
den arabischen Zahlen gibt es dann nochmals 10 Zeichen, so dass sie fast
200 Zeichen lernen muessen.Da jedoch die meisten Schriftzeichen
komplizierter sind als die des Alphabets, muessen sich die Kinder
(Erwachsenen) schon mehr aneignen als Menschen in einem westlichen Land.
 

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  Dr. Waldemar Kippes
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