Wozu Alternativen? Wer sich um Alternativen zu einer etablierten Einrichtung bemüht, sieht die Chance einer Verbesserung dieser Einrichtung.

Der derzeitige Mathematikunterricht an den allgemeinbildenden Schulen ist das Ergebnis einer jahrzehntelangen Entwicklung. Inhalte und Formen dieses Unterrichts sind stark von der Tradition bestimmt, denn Mathematiklehrer bringen in ihren Unterricht in hohem Maß die Erfahrungen und Beobachtungen aus ihrer eigenen Schulzeit ein.

Schon neue Inhalte finden nur schwer Eingang in den Alltag des Unterrichts. Um diese geht es mir indessen nicht in diesem Buch. Die Auseinandersetzung mit neuen Inhalten ist ein favorisierter Bereich der mathematischen Fachdidaktik. Alljährlich werden zahlreiche Beiträge mit Vorschlägen für neue Inhalte oder mit neuartigen Betrachtungsmöglichkeiten alter Inhalte veröffentlicht. Wer Alternativen zu den Inhalten sucht, findet ein wohlbearbeitetes Feld mit großer Auswahl. (F Eine rasche Übersicht vermitteln die Berichte über die jährlich stattfindenden Tagungen der "Gesellschaft für Didaktik der Mathematik, die unter dem Namen "Beiträge zum Mathematikunterricht" seit 1967 bei wechselnden Verlagen veröffentlicht werden.)

Für den Schüler sind alle Inhalte neu; es spielt für ihn deshalb kaum eine Rolle, was für Inhalte an ihn herangetragen werden, wenn nur die Gegenwart des Unterrichts zählt. Wichtiger für ihn sind die Zielsetzungen, die die Gesellschaft damit verbindet, daß sie Mathematikunterricht als bedeutsames Fach in der allgemeinbildenden Schule ansieht. Wichtig für ihn ist die Form, in der sich die Auseinandersetzung seines jugendlichen, nur wenig geprägten Geistes mit diesen Zielsetzungen vollzieht.

In den vergangenen zwei Jahrzehnten gab es Ansätze, im Bereich der Zielsetzungen mehr Klarheit zu schaffen, und es gab Bemühungen, die Art der Zugänge für die Erarbeitung dieser Zielsetzungen zu erweitern. Diese Ansätze und Bemühungen haben keine nachhaltigen Verbesserungen bewirkt.

Wäre offenkundig, daß nichts Nennenswertes zu verbessern ist, so könnte man die Aufbruchstimmung der vergangenen zwei Jahrzehnte als flüchtige Episode vergessen und zur Tagesordnung übergehen, das heißt, alles beim alten belassen. Wären alle von Verlauf und Ergebnis des Mathematikunterrichts Betroffenen voll zufriedengestellt, so gäbe es keinen Anlaß, sich damit zu beschäftigen. Würde inbesondere der Mathematikunterricht allen Schülern und den Erwartungen der Abnehmer mathematischer Bildung gerecht, so wäre es eine akademische Spielerei, sich mit Alternativen, die in der Vergangenheit keine Ausbreitung gefunden haben, heute noch auseinanderzusetzen.

In Wirklichkeit sind die Verhältnisse zum Teil ganz unbefriedigend. Alle reden von Chancengleichheit. Tatsächlich jedoch hängt es vom Zufall ab, ob ein einzelner Schüler die Gelegenheit erhält, sich in der ihm angemessenen Art an mathematische Fragestellungen heranzutasten. Er ist hilflos den zufälligen Repräsentanten des Fachs Mathematik ausgeliefert, die ihm gegenüber mit einem Lehr- und Beurteilungsmonopol zugleich ausgestattet sind. Das Kind kann Glück haben und Lehrern anvertraut sein, die seine spezifischen Fähigkeiten und Bedürfnisse erkennen und mit den Forderungen des Fachs in Einklang bringen können. Es kann ebenso Lehrern in die Hände fallen, die den hohen Anforderungen des Lehrberufs nur zum Teil gewachsen sind, die es bei unsicheren Schritten im Feld der Mathematik entmutigen, die nicht erkennen, wenn es in kühnen Assoziationen aus der methodischen Gängelung ausbricht und Lösungen anderer Art entstehen lassen könnte.

Einzelfälle? Natürlich handelt es sich um Einzelfälle, nämlich um die Fälle einzelner Individuen. Das Problem besteht darin, daß es in jeder Klasse viele solcher Einzelfälle gibt, unter Umständen so viele, wie die Klasse Schüler zählt. 

Ich denke an Schüler zurück, denen ich in meinem eigenen Unterricht - so denken Lehrer: Das ist mein Untericht - nicht gerecht geworden bin. Ich denke an Kristina, die mit viel gutem Willen und in redlichem Bemühen um die Note 5 im Abitur gekämpft hat, die sie dann im zweiten Anlauf erhalten hat. In einem ganz engen Bereich gelang es ihr, Wissen und einfache Anwendungen inhaltlich einwandfrei reproduktiv in Worte zu fassen. Ich denke an Stephan, aus dem Jahre danach bei einem Klassentreffen herausgebrochen ist, was ich und andere Mathemtiklehrer ihm während seiner Schulzeit angetan haben - ohne es zu merken, denn als Lehrer habe ich ja meine ganze Kraft auf einen guten Unterricht verwendet, so daß ich  da nicht auf einzelne persönliche Probleme achten konnte. Ich denke an Hans-Peter oder an Eva oder an Michael oder an viele andere, die Gedanken in den Unterricht eingebracht haben, die ich einfach zurückgewiesen habe, weil ich im Augenblick damit überfordert war. Nur selten habe ich am Tag danach, ohnehin dann schon fast zu spät, die Eigenständigkeit dieser Gedanken gewürdigt, wenn ich schließlich erfaßt hatte, worum es dabei gegangen war. 

Es hat lang gebraucht, bis ich gelernt habe, im Unterricht Freiraum für die selbsttätige Arbeit der Schüler zu schaffen und mehr die Rolle des hilfreichen Beobachters als die des unerbittlichen Verteidigers eines Vermittlungsmonopols zu übernehmen.

Liegt es in der Natur der Sache, ist es unvermeidbar, daß die Schüler ihren Lehrern auf Gedeih oder Verderb ausgeliefert sind? Dies muß nicht sein. Es ist ein zentrales Anliegen dieser Schrift, Alternativen zu solchen Schülerschicksalen glaubhaft zu machen.

Die Unzufriedenheit der Abnehmer mathematischer Bildung mit dem Ergebnis des Mathematikunterrichts ist offenkundig. Wir kommen darauf in Kapitel 1 zurück. Vielleicht geht es aber auch hier um ein Mißverständnis. Könnte es nicht sein, daß die Erwartungen der Abnehmer und die Zielsetzungen der Lehrer nicht übereinstimmen? Werden die Zielsetzungen der Lehrer im weiten, nicht faßbaren Rahmen der Lehrpläne überhaupt deutlich? Worin bestehen eigentlich diese Zielsetzungen? Auch davon können wir nicht ausgehen, daß Lehrpläne und Erwartungen der Abnehmer richtig zusammenpassen. Auch da ist die Alternative zu erörtern, die in einer meßbaren Formulierung vieler wesentlicher Ziele des Unterrichts - oder sogar aller? - besteht. Eine Alternative, die eine Folge manipulierbarer Willkürentscheidungen durch ein transparentes Verfahren ersetzt.

Diese Schrift soll die Abnehmer mathematischer Bildung ermuntern, auf aufweisbaren Leistungen zu bestehen, und sich nicht mit vagen Bildungsversprechungen abspeisen zu lassen. Im Bereich der Routinefertigkeiten können meß- und überprüfbare Ziele angegeben werden. Worin würde eine Bildung bestehen, die nicht auf solche Routinefertigkeiten aufbauen kann?

Diese Schrift entsteht in der Hoffnung, die Leiden von Schülern wie Kristina ebenso wie Michael zu vermindern. Schülern wie Kristina kann dabei die Einsicht in Grenzen ihrer Leistungsfähigkeit nicht erspart werden - dies gehört auch zum Wesen der Bildung. Schülern wie Michael kann das Ordnen ihrer Gedanken bis zur Kette zwingender Schlüsse nicht abgenommen werden. Es müßte aber möglich sein, die eine Gruppe von Schülern zu trösten und zu ermutigen, und die andere Gruppe zu ermuntern und zu bestätigen.

Diese Schrift soll Eltern anregen, sich nicht zufriedenzugeben, wenn sie vom Lehrer ihrer Kinder zur Antwort bekommen "Sie sollte sich besser in den Gang des Unterrichts einfügen" oder "Er sollte nicht so eigenwillig sein". Der Lehrer soll seine Aufgabe nicht so verstehen, daß er auf seine Art Rituale zelebriert. Er soll sich auf die Bedürfnisse der einzelnen Kinder einstellen. Er soll sich bemühen, jedes Kind auf die ihm gemäße Art so weit als möglich zu fördern. Diesen Anspruch sollten wir als Eltern an ihn herantragen.

Diese Schrift wendet sich diejenigen, die für die Finanzierung der allgemeinbildenden Schulen verantwortlich sind. Ich möchte deutlich machen, daß kleinere Klassen nicht automatisch zu einem besseren Unterricht führen. Das Verhältnis von Personalaufwand, Sachaufwand für die äußeren Bedingungen der Schularbeit und Sachaufwand für Lehr- und Lernmittel ist ungesund. Für die Reinigung der Unterrichtsräume wird manchenorts mehr ausgegeben als für Lehr- und Lernmittel, für die Heizung der Unterrichtsräume fünf Mal so viel! Lehrerfortbildung, die zu einem anderen Selbstverständnis der Lehrer führt, kann Millionenbeträge sparen und zugleich zu einer Verbesserung der Unterichtsergebnisse führen.

Nicht zuletzt will ich mit dieser Schrift meine Kollegen erreichen, die Lehrer, die sich tagaus tagein oft unter fast unerträglichen Begleitumständen, oft mit so geringem Erfolg, daß man darüber verzweifeln könnte, im Untericht und bei seiner Vorbereitung abmühen. Liegt der Schwerpunkt Ihrer Arbeit richtig? Sind die Gewichte Ihres Bemühens richtig verteilt?

Ich denke an einen Kollegen, der früher mein Schüler war. Er kam zu mir in seinem zweiten Lehrerjahr und klagte, daß er mit der Arbeit nicht fertig werde, obwohl er jede Woche 60 bis 70 Stunden arbeite. Allein für Korrekturen wende er zehn bis zwanzig Stunden  pro Woche auf. Dabei sah er sich außerstande, auch noch die Schulhefte seiner Schüler nachzusehen. Ich sammelte damals regelmäßig die Schülerhefte zur Überprüfung ein, ließ mehr als die vorgeschriebene Zahl von Klassenarbeiten schreiben und brauchte trotzdem für Korrekturen nur drei bis fünf Stunden pro Woche. Der Grund: Ich hatte gelernt, die Arbeitsfähigkeit, Intelligenz und Arbeitslust der Schüler für den Unterricht fruchtbar zummachen. Es war nicht mehr "mein" Mathematikuntericht, den ich erteilte; ich unterstützte in jeder Klasse "unsere" gemeinsame Arbeit des Mathematiklernens. Das hatte natürlich Rückwirkungen auf das Verhältnis zu den Schülern. Die Klasse dieses eben genannten Kollegen hat mir in einer sonst sehr giftigen Abiturszeitung bescheinigt: "Er hat sich nicht um Autorität bemüht - er hatte keine nötig!"

Vielleicht kann Ihnen, liebe Kollegen, diese Schrift neben den praktisch anwendbaren Vorschlägen Denkanstöße vermitteln, über Ihr Selbstverständnis als Lehrer nachzudenken. Wollen Sie mit Konversationslexika, mit Tonbandgeräten oder mit Datenbanken konkurrieren? Diese Konkurrenz können Sie nicht bestehen. Liegt Ihr Stolz - und damit ihre schwächste Stelle - in Ihrer fachlichen, inhaltsbezogenen Kompetenz, darin, daß Sie selbst in einer Prüfung nachgewiesen haben, daß Sie Mathematik sehr gut, gut, befriedigend oder ausreichend verstehen und daß Sie nun selbst Mathematikstunden zelebrieren dürfen? Dann haben Sie nur einen kleinen Ausschnitt von dem, was man von einem Lehrer erwarten kann, in die Ausübung Ihres Berufs eingebracht. 

Ich will in dieser Schrift dafür werben, daß Sie Ihren Schülern faßbar die Ziele offenlegen, die Sie mit Ihrer Unterrichtsarbeit verfolgen. Oft können die Schüler nicht erkennen, welche Absichten wir als Lehrer in unserem Unterricht verfolgen. Wie sollen sie dann mitarbeiten? Ich will dafür werben, daß Sie als kompetenter Lehrer zwei mächtige Hilfsmittel zur Verfügung haben und diese auch nutzen sollten: Die in den verschiedensten Medien verfügbare unterrichtsrelevante Information und die geballte Intelligenz aller ihrer Schüler. 

Wenn meine Werbung Erfolg hat, haben auch Ihre Schüler mehr Erfolg im Mathematikuntericht und Sie selbst finden in Ihrer Arbeit mehr Befriedigung.

1.1 Mathematikkenntnisse und Glühlampen - zum bleibenden Ergebnis des Mathematikunterrichts.

Glühlampenfabriken stellen Glühlampen her. Für der Verkauf werden die Glühlampen verpackt. Ein Aufdruck auf der Packung verrät die wichtigsten Eigenschaften der eingepackten Lampe: Nennspannung - Leistung - Art des Sockels.
Auf Anfrage erhält der Interessent weitere Informationen, zum Beispiel über den Anlaufstrom, die Farbtemperatur des erzeugten Lichts, die Lichtausbeute oder die mittlere Lebensdauer. Auf Wunsch berät der Hersteller den Käufer bezüglich des Anwendungsgebiets, etwa über die Eignung als Projektionslampe.

Eine Reihe von Angaben, die mit der Herstellung der Lampe zusammenhängen, wird in der Regel nicht weitergegeben. Es ist zum Beispiel schwierig, zu erfahren, wie der Produktionsleiter der Glühlampenfabrik heißt oder der Mitarbeiter, der die Verpackungsmaschine bedient. Für den, der mit der Glühlampe sein Wohnzimmer beleuchten will, wären solche Angaben indessen ohne Nutzen.

Gibt es auch Interessenten für Mathematikkenntnisse von Schülern? Sind auch diese Mathematikkenntnisse im Hinblick auf die Bedürfnisse des Abnehmers beschreibbar? - Die Mathematikkenntnisse werden im Zeugnis des Schülers durch eine Zahl zwischen 1 und 6 oder durch einen bewertenden Ausdruck für eine solche Zahlenangabe wie "gut" oder "ungenügend" beschrieben. Das Zeugnis gibt außerdem Aufschluß über die Namen von Schulleiter und Klassenlehrer - darf man diese als Produktionsleiter und Verpacker ansehen? - sowie über Schulart und Klassenstufe.

Die inhaltliche Bedeutung der Angaben im Zeugnis ist gering. Wenn der Klassenlehrer Bartel für die Schülerin Gaby Maier aus der Klasse 9 der Theodor-Heuss-Realschule die Note "gut" eingetragen und der Schulleiter Kellermann dies unterschrieben hat, so kann ein dritter daraus nicht entnehmen, ob Gaby zwei Brüche fehlerlos miteinander multiplizieren oder das Volumen eines Zylinders aus Grundkreisdurchmesser und Höhe berechnen kann.

Offenbar sind die Abnehmer für Mathematikkenntnisse mit diesem Zustand nicht zufrieden. Sie beklagen sich regelmäßig über die mathematischen Voraussetzungen der Schulabgänger.
Dies gilt bereits innerhalb des Schulwesens. Der Grundschule wird angelastet, sie schaffe keine ausreichende Grundlage für die weiterführenden Schulen. Innerhalb einer Schule selbst wird immer wieder das Niveau der aus den vorangehenden Klassen erwarteten Vorkenntnisse bemängelt.

Die Abnehmer außerhalb der Schule machen gleichfalls immer wieder den Versuch, die Mathematikkenntnisse der Schulabgänger auf ihre Art zu untersuchen. Es vergeht kaum ein Jahr, in dem nicht irgendwo eine Handwerkskammer oder eine Industrie- und Handelskammer den Bewerbern für Lehrstellen  Aufgaben aus dem Mathematikunterricht vorlegt und die mangelhaften Erfolge in einer Pressemeldung verbreitet.

Ein Beitrag aus meinem Erfahrungsbereich in den vergangenen zehn Jahren: 172 Studierende des Fachs Mathematik für das Lehramt an Grund- und Hauptschulen liefern für die Aufgabe "Schreibe 1 Zentimeter-hoch-zwei mit der Benennung Hektar" vierzehn verschiedene Antworten, von denen zwei richtig sind. Nur sechzehn Studierende, also weniger als 10%, finden eine der richtigen Antworten. Nur vier davon benützen Zehnerpotenzen, um die Antwort aufzuschreiben. In anderen Jahrgängen war das Ergebnis bei derselben Frage nicht nennenswert verschieden! Wären die Potenzschreibweise und der Aufbau der Flächenmaße während der Schulzeit zum gesicherten Bestand geworden, so hätte es bei dieser Aufgabe, von wenigen Flüchtigkeitsfehlern abgesehen, nur richtige Antworten gegeben.

Dem Chor derer, die sich über mangelnde Kenntnisse der Schulabgänger beklagen, schließen sich namhafte Berufsverbände an: "Rettet die mathematisch-naturwissenschaftliche Bildung" heißt zum Beispiel die Überschrift zu einer derartigen Initiative aus dem Jahr 1982 (F Steiner: Mathematisch-Naturwissenschaftliche Bildung Kritisch-konstruktive Fragen und Bemerkungen zum Aufruf einiger Fachverbände; IDM Occ. P. 22 1984)

Ebenso regelmäßig wie die Untersuchungen der Industrie- und Handels- beziehungsweise Handwerkskammern finden Erhebungen über die mathematischen Voraussetzungen der Studienanfänger statt. Manche dieser Erhebungen werden pauschal ausgewertet: "Es zeigte sich, daß ... und daß bekannte Definitionen und Sätze kaum richtig angewendet werden." (F Haussmann, 1982; BzM 1982, S. 43 ). Andere Erhebungen gehen ins Detail und offenbaren dadurch besser die Erwartungen der Abnehmer. "Mathematik und Studierfähigkeit" ist der Titel eines Aufsatzes von Tietz (F Tietz, Schulpraxis 2.1982, S.47/48), in dem er über eine solche Gewohnheit berichtet: "Seit vielen Jahren pflege ich Studienanfängern - Mathematikern und Physikern einerseits, Ingenieurstudenten andererseits - eine anonyme Testklausur vorzulegen. ..." Tietz gibt im folgenden an, welche Aufgaben er gestellt hat und wie groß jeweils der Prozentsatz richtiger Lösungen war. "Nicht beherrschen", "nicht brauchbar" oder "Hilflosigkeit im Umgang mit elementarsten Alltäglichkeiten" sind die Kommentare dazu. 

Ich habe Tietz als typischen Repräsentanten für die Abnehmer mathematischer Kenntnisse gewählt. Er drückt inhaltlich konkret umrissene Erwartungen aus, die mit den Erwartungen des Glühlampenkäufers bis auf die Haltbarkeit vergleichbar sind. Während die Glühlampe unbenutzt fast unbegrenzt gelagert werden kann, muß damit gerechnet werden, daß mathematische Kenntnisse im Lauf der Zeit vergessen werden, und zwar umso mehr, je weniger gut diese Kenntnisse gesichert waren. Tietz hat konkrete Vorstellungen von dem, was er von seinen Studienanfängern bezüglich der Mathematik erwartet. Er verläßt sich nicht auf die Mathematiknoten, obwohl er es sogar mit einer Auswahl der in diesem Bereich besonders Motivierten zu tun hat.

 Die Vorstellungen von Tietz sind inhaltlich bestimmt. Er hat konkrete Kenntnisse und Fertigkeiten vor Augen, die er in Form von Aufgaben zu diesen Bereichen ausdrückt.

Aus der Sicht des Abnehmers von Mathematikkenntnissen ist der Vergleich von Glühlampenfabrikation und Mathematikunterricht nicht unzutreffend. Er paßt umso besser, je mehr die Mathematikkenntnisse inhaltlich erfaßt werden. Diese Erfassung und Präzisierung soll Gegenstand des ersten Kapitels dieser Schrift sein.

Aus anderer Sicht, zum Beispiel aus der Sicht mancher Lehrer und vieler Mathematikdidaktiker, ist mein Vergleich eine empörende Provokation, nur zu erklären aus völliger Unkenntnis des Bildungsauftrags des Mathematikunterrichts.  Deshalb muß ich versuchen, auch diesen gegensätzlichen Standpunkt darzustellen und zu erläutern.
 

Im vorausgegangenen Abschnitt habe ich unreflektiert von Mathematikkenntnissen gesprochen. Ich habe dargestellt, daß es gesellschaftliche Gruppen gibt, die als Ergebnis des Mathematikunterrichts im einzelnen bestimmbare Kenntnisse erwarten.In Beispielen habe ich gezeigt, daß diese Erwartungen nicht immer erfüllt werden.

Für das folgende will ich unterstellen, daß die Mathematikdidaktik relevante Aussagen zu den Zielen des Mathematikunterrichts macht und festlegt, wie der zugehörige Unterricht aussehen soll.

Eine eigenartige Unbestimmtheit für das Gesamtergebnis des Mathematikunterrichts auf der einen Seite und eine fast unüberschaubare Fülle von detaillierten Einzelvorschlägen auf der anderen Seite scheint mir die Mathematikdidaktik zu kennzeichnen. Für die Vergangenheit faßt Lenne (F Analyse der Mathematikdidaktik in Deutschland, Klett, Stuttgart  1969, S.217) zusammen: "Die mathematischen Einzelstoffe nehmen in der Mathematikdidaktik in Form der Detaildidaktik einen sehr breiten Raum in Anspruch." Diese Detaildidaktik besitzt eine besondere Ausprägung. Lenne fährt fort (a.a.O.): "Es geht also in der Regel nicht um den Unterricht in Mathematik, sondern um die Mathematik im Unterricht."

Nimmt man die Berichte über die jährlichen Tagungen der Gesellschaft für die Didaktik der Mathematik (F GDM; Beiträge zum Mathematikunterricht 1967 ff.) zum Maßstab, so hat sich in der Zwischenzeit nur wenig geändert. Beispielsweise waren auf der Tagung 1978 mehr als zwei Drittel der Vorträge solchen Einzelthemen gewidmet. Die restlichen Vorträge überspannten ein weites Gebiet vom Thema "Vorschläge zur Vermenschichung des Mathematikunterrichts" über "Mathematikunterricht als Kommunikationsprozeß" zur "Konzeption von Schulfernsehsendungen im Mathematikunterricht". Ein einziger von mehr als 100 Beiträgen beschäftigt sich mit dem Problem der Diagnose von Schülerleistungen. In der Zwischenzeit ist die Diagnose von Lernschwierigkeiten zu einem Modethema geworden. Allerdings liegt der Schwerpunkt der Arbeit mehr bei einer Erfassung von Symptomen als bei der Erforschung der Ursachen.

Zwei Richtungen lassen sich in der derzeitigen Mathematikdidaktik besonders hervorheben

- Ein Teil der Didaktiker "pflegt" das kleine Gärtlein, das er erfolgreich abgrenzen konnte (F Meschkowski, BzM 1974, S. 35) und züchtet dort seltene Pflanzen. Dieser Teil kümmert sich wenig darum, ob Ableger seiner Pflanzen auch anderwärts Verbreitung finden. Er findet sich damit ab, daß die Inhalte des Mathematikunterrichts durch die Lehrpläne - mehr oder weniger vorgegeben werden, aber engagiert sich nicht allzusehr für Änderungen.

- Einen überraschenden Standpunkt vertritt eine andere Gruppe. Ihre Anhänger erklären die Inhalte für bedeutungslos, sofern nur mit den ausgewählten Inhalten mathematisch gearbeitet werde.

Freudenthal kann als Vertreter der zweiten Gruppe angesehen werden. Er beschäftigt sich intensiv mit dem Thema. In "Mathematik als pädagogische Aufgabe" (F Freudenthal, Mathematik als Pädagogische Aufgabe, Klett, Stuttgart 1973) widmet er der Behandlung der Überschrift "Zweck und Ziel des Mathematikunterrichts" 31 geistreiche Seiten. Auszüge: "Bei kaum einem anderen Unterricht ist der Abstand zwischen zwecklosem Ziel und ziellosem Zweck so groß"; Lehrer, "die ans Rechnen glauben, sind aber die tüchtigsten und darum gefährlichsten (s.67); oder "daß auch die anderen, die die Mathematik niemals anwenden werden, Mathematik lernen sollen, weil sie sie nötig haben, um ganz Mensch zu sein."(S.70) - Das ganze Kapitel ist amüsant zu lesen, aber nicht sehr hilfreich für den, der Unterstützung für den Alltag des Unterrichts sucht.

Nach Winter - in der Zusammenfassung von Bauer -  soll der Schüler im Mathematikunterricht lernen,

- sich kreativ zu verhalten,
- zu argumentieren (1) und
- Situationen zu mathematisieren. (3)

Dabei erwirbt er die geistigen Grundtechniken Klassifizieren, Ordnen, Generalisieren, Analogisieren und Formalisieren. Diese Fähigkeiten und Grundtechniken "scheinen für ihn das abzudecken, 'was der Mathematikunterricht leisten kann'" (F Bauer, Mathematische Fähigkeiten in der Sekundarstufe 2 und ihre Bedeutung für das Lösen von Abitursaufgaben, Schöningh, Paderborn 1978; S. 28). 

Winter selbst warnt (F Journal für Mathematikdidaktik Jahrgang 4 1983 Heft 3 S. 200) ausdrücklich vor der Beschränkung auf sichere Fertigkeiten und abrufbares Wissen.

 Bigalke (F Bigalke-Hasemann,Zur Didaktik der Mathematik für die Klassen 5 und 6, Diesterweg, Frankfurt 1977, S.390) versteht den Mathematikunterricht nicht produktorientiert, sondern prozeßorientiert und sieht seine wesentliche Aufgabe in den Tätigkeiten Erraten, Probieren, Vermuten, Improvisieren, Entdecken, Problematisieren, Verwerfen und Zusammenhänge Knüpfen. Von inhaltlichen Zielen des Mathematikunterrichts hält er in der Theorie nichts: "Die wesentlichen Ziele des Mathematikunterrichts lassen sich nicht durch operationale Ziele beschreiben."  Bigalke postuliert eine Abkoppelung von Schule und Mathematikdidaktik: "Die Entwicklung mathematikdidaktischer Theorien wird nicht primär von den momentanen Bedürfnissen der Schule bestimmt." (F Journal für Mathematikdidaktik Jahrgang 5 1984 Heft 3, S. 58) Dieser theoretische Standpunkt hindert allerdings Bigalke nicht, inhaltlich und schulbezogen orientierte Schulbücher herauszugeben.

Fischer (F Fischer, Unterricht als Prozeß der Befreiung vom Gegenstand, Journal für Mathematikdidaktik 5, 1984, Heft 1/2, S. 55 - 85) hat eine noch radikalere These: "Es kann nicht mehr die Hauptaufgabe schulischen Fachunterrichts sein, bestehendes Wissen zugänglich zu machen."

Der von den Vertretern der zweiten Gruppe verbreitete Standpunkt erklärt zum Teil, warum angesichts der im Lauf der Jahrzehnte angesammelten Einzelvorschläge eine intensive Diskussion über Auswahlkriterien für Inhalte des Mathematikunterrichts kaum stattfindet.  Eigentlich müßte die begrenzte Aufnahme- und Verarbeitungsfähigkeit der Schüler ebenso wie das Interesse der Gesellschaft am Ergebnis des Mathematikunterrichts eine strenge Auswahl erfordern. Stattdessen beobachten wir, daß das Bemühen um inhaltliche Präzisierung der Ziele des Mathematikunterrichts innerhalb der Mathematikdidaktik kaum Resonanz findet.

Um Mißverständnissen aus dem Wege zu gehen, möchte ich eine Ergänzung anfügen: Einige der Vertreter der Unwichtigkeit der Inhalte kenne ich aus faszinierenden Unterrichtsstunden. Es handelt sich dabei um Unterricht, den ich ohne Einschränkung als gut bezeichnen kann. Die Problematik beginnt da, wo erwartet wird, daß der Unterricht im Schulalltag in der Regel ebenso abläuft. Dies trifft jedoch im Normalfall, wie wir in Kapitel 3 noch sehen werden, nicht zu, weil der Erfolg an seltene persönliche Voraussetzungen des Lehrenden gebunden ist. Nur für solche Voraussetzungen gilt: "Lernziele werden überhaupt erst verständlich, wenn sie in engem Kontext mit einer entsprechenden Unterrichtseinheit unter Angabe von Inhalten, Methoden, Medien, Interaktionen und Organisationen formuliert werden." (F Bigalke-Hasemann a.a.O.,S.392).

Gibt es nicht inhaltliche Ziele, deren Vermittlung die Öffentlichkeit als Hauptaufgabe - oder sogar als einzige Aufgabe- des Mathematikunterrichts ansieht? Gibt es nicht Ziele, die unabhängig vom Kontext, vom Unterricht, vom Lehrer sind? Gibt es nicht auch Ziele, die man offenlegen kann? Liegt nicht der Grund dafür, daß die Gesellschaft Mathematikunterricht erteilen läßt, gerade in den inhaltlichen Detailzielen? Müssen wir nicht von der Mathematikdidaktik her erst dafür werben, daß daneben durch den Mathematikunterricht auch noch weitere - sogar für die Allgemeinheit gleichfalls "nützliche" - Bildungsziele erreicht werden können von herausragenden Lehrerpersönlichkeiten? Suchen nicht viele nur ein Alibi dafür, daß sie sich um die tägliche Kleinarbeit in der Klasse für die Erarbeitung elementarer Routinefertigkeiten ebenso drücken wie um Überlegungen zur langfristigen Sicherung inhaltlicher, überprüfbarer Ziele? Geht es vielleicht sogar nur um das Alibi für die offenkundigen Mißerfolge einer erst im Entstehen begriffenen Wissenschaft, der Mathematikdidaktik, die die Erwartungen der Abnehmer umso mehr enttäuscht, wenn sie versucht, die Mißerfolge (zum Beispiel bei der sogenannten "Mengenlehre") als Erfolg auszugeben? Hat unter Umständen ein Teil der Gesellschaft bereits begriffen, daß hier "des Kaisers neue Kleider" verkauft werden sollen? 

- An die Stelle einer Antwort setze ich hier eine Feststellung von Skinner, die heute nicht mehr in dem Maß Gültigkeit besitzt wie vor zwanzig Jahren, wo die Satire noch als Faktum genommen werden mußte: "Ein Lehrer, der die geistigen Fähigkeiten entwickelt, genießt  mehr Ansehen als ein Lehrer, der nur praktische Fertigkeiten vermittelt, und jener ist vor allem in der günstigen Lage, daß er kaum kritisiert werden kann. Der Klage darüber, daß er keine sichtbaren Ergebnisse herbeigeführt habe, kann ein solcher Lehrer mit dem Hinweis auf unsichtbare Leistungen begegnen. ... Vielleicht können sie (seine Schüler) keine Aufgaben lösen, aber er hat ihnen schöpferisches Denken beigebracht. Sie haben vielleicht keine Ahnung von bestimmten Tatsachen, aber er hat vor allem ihr allgemeines Interesse für ein Gebiet geweckt." (F Skinner, in Correll, Programmiertes Lernen und Lehrmaschinen, Westermann, Braunschweig 1965, S. 330)

Wir können zusammenfassen: Die Fachdidaktik wird den Abnehmern für mathematische Kenntnisse in naher Zukunft  keine garantierten Leistungen anbieten. Es gibt indessen noch ein zweites grundsätzliches Hindernis für ein solches Ergebnis des Mathematikunterrichts. Ich gehe im nächsten Abschnitt darauf ein.
 

In unserer Gesellschaft ist die Gewaltenteilung zwischen der Legislative - den Parlamenten -, der Exekutive - der Regierung und der Jurisdiktion - der Gerichtsbarkeit in einem langen Prozeß erkämpft worden. Die Gewaltenteilung gilt als Grundlage unserer Demokratie.

Auch in der Wirtschaft ist eine Gewaltenteilung bestimmend. In den Herstellerbetrieben gibt es getrennte Abteilungen für Produktion auf der einen Seite, Qualitätskontrolle auf der anderen Seite. Die dritte Gewalt ist der Markt. Der Markt entscheidet über die Preise in den Bereichen, die nicht staatlicher Reglementierung unterworfen sind oder von einem Monopol beherrscht werden. Die Marktwirtschaft hat uns in den freien Bereichen im Verlauf der vergangenen 30 Jahre eine Versorgung gesichert, von der man in Ländern ohne freie Marktwirtschaft nur träumen kann. Störungen der Versorgung beschränken sich auf Bereiche, in denen der Staat ständig interveniert, zum Beispiel auf dem Wohnungsmarkt. In den freien Bereichen führt die Konkurrenz dazu, daß die Entwicklungstätigkeit dort am stärksten ist, wo die Nachfrage am größten ist. Über den technischen Fortschritt sinkt in diesen Bereichen dann auch der Preis, so daß ein zunehmender Teil der Bürger in den Genuß des Fortschritts kommt. (Obwohl es für das folgende nahe läge, will ich auf das Problem des Überangebots nicht eingehen!)

Was haben diese Vergleiche mit dem Mathematikunterricht der Schule zu tun? Nun, sie beschreiben gerade, wie die Schule nicht ist. Der (Mathematik-)Unterricht der Schule läßt sich nur mit einer Monopolsituation vergleichen. Das Prinzip der Gewaltenteilung gilt, von wenigen noch zu erörternden Ausnahmen abgesehen, nicht. Der einzelne Lehrer besitzt vielmehr Vollmachten, um die ihn sogar ein absolutistischer Herrscher hätte beneiden können. Die Rahmenvorgaben von Seiten der Schulaufsicht sind so vage, daß deren formale Beachtung keine nennenswerte Einschränkung der Freizügigkeit des Lehrers nach sich zieht. 

Ich will dies an einem Beispiel aus Klasse 6 erläutern: Ein Thema dieser Stufe ist die Bruchrechnung. Es ist ein offenes Geheimnis, daß nur ein verschwindend kleiner Teil der Schüler dauerhafte Kenntnisse in Bruchrechnung erwirbt. In einem süddeutschen Badeort kam vor einigen Jahren die Frage auf, ob man von einem Viertel ein Sechstel subtrahieren könne. Der Portier der Kureinrichtungen engagierte sich und verwickelte zahlreiche Kurgäste in ein Gespräch über diese Frage. Die Meinung war ziemlich einhellig, daß es sich um eine unlösbare Aufgabe handeln müsse; dabei wurden verschiedene Gründe zur Stützung dieser Meinung angeführt. Da war es fast enttäuschend für die Beteiligten, als der Kollege, der diese Geschichte auf einer Fortbildungstagung zum Thema Bruchrechnung erzählte, das Problem durch Veranschaulichung der Lösung aus der Welt schaffte!

Ich bleibe noch beim Thema Bruchrechnung. Es steht im freien Ermessen des Lehrers, ob er im mündlichen Rechnen die Multiplikation der Brüche 169/288 und 192/91 vornehmen läßt und seine Klasse soweit bringt, daß der überwiegende Teil der Schüler diese Aufgabe rasch und fehlerlos im Kopf löst, oder ob er sich im schriftlichen Rechnen auf Beispiele wie 5/12*3/5 beschränkt. Der Lehrer kann frei entscheiden, ob er für die Multiplikation von Brüchen drei Regeln (Ganze Zahl mal Bruch, Bruch mal ganze Zahl, Bruch mal Bruch) einführt und damit unter anderem verdeckt, daß ganze Zahlen stets auch rationale Zahlen sind, oder ob er nur eine Regel einführt. Er legt frei fest, ob er die Regel vorgibt und nur anwenden läßt, oder ob er sie erarbeitet oder wenigstens plausibel macht, ob er sie mit Worten formuliert oder ob er sie mit Variablen ausdrückt. Der Lehrer kann die "Behandlung" des Themas auf wenige oder auf viele Stunden verteilen. Die Richtstundenangaben des Lehrplans sind ohne Bedeutung, solange keine Beschwerden von Elternseite eingereicht werden. Es liegt ganz beim Lehrer, ob er seine Multiplikationsregel vielfach wiederholt, oder ob er nur innerhalb einer Unterrichtseinheit darauf eingeht.

Das soeben geschilderte Entscheidungsmonopol schöpft jedoch den Freiraum des Lehrers nicht aus. Seine Gewalt erstreckt sich auf einen noch entscheidenderen Bereich, nämlich auf die Bewertung der Schülerleistungen in Bezug auf das behandelte Thema. Der Lehrer legt selbst fest, wie viele Aufgaben er zu einem Thema stellen will. Er kann schwierige oder einfache Aufgaben auswählen. Schließlich bestimmt er selbst, wie er die Bearbeitung der Aufgaben durch die Schüler bewerten will. Er kann die Arbeit eines Schülers mit "gut" bewerten, und er kann für dieselbe Arbeit auch die Note "ausreichend" erteilen, das heißt, er kann den Klassendurchschnitt auf über "2" heben oder er kann ihn auf "4" drücken. Solange er darauf achtet, daß alle Schüler der Klasse nach einem einheitlichen Maßstab bewertet werden, wird sich niemand darum kümmern, obwohl die Ergebnisse dieser Entscheidungen weit auseinander liegen.

Es gibt Lehrer, die die mit diesen Freiheiten verbundene Verantwortung erkennen und darunter leiden. Wie nach einem Strohhalm greifen sie nach Vorschlägen, die sie in dieser Verantwortung entlasten und ihren Entscheidungsspielraum einengen. Ein solcher Vorschlag ist zum Beispiel die Verteilung der Noten nach der Normalverteilung, auf die ich später - in 1.6- noch eingehen werde.

Es gibt andere Lehrer, die diesen Freiraum mißbrauchen und ihn für die eigene Bequemlichkeit ausnützen. Es sind so viele, daß der Berufsstand deswegen öffentlich angegriffen werden kann: "Probleme habe ich mit den Männern und Frauen, die nur Lehrer geworden sind, um Geld zu verdienen. Sie haben keinen Bezug zu Kindern, haben keinen Wunsch, zu bilden und zu erziehen. Sie diskreditieren mit ihrer Job-Mentalität unser anspruchsvolles Schulsystem. Wir bezahlen etwa 44 000 Lehrer. Aber es stellt sich die Frage: Haben wir damit schon 44 000 pflichtbewußte Erzieher für unsere Kinder?" (F Börner, nach FAZ 14.1.1981)

Börner spricht nur einen Teilgesichtspunkt des Problems an. Was wird denn eigentlich vom Lehrer bewertet? Wird die Leistung der Schüler bewertet? Oder wird in Wirklichkeit der Unterricht des Lehrers bewertet? Wird bewertet, wie weit es dem Lehrer gelungen ist, Ziele zu erreichen, die von außen aufgestellt und von außen überprüft werden? - Von den wenigen zentralen Prüfungen in unserem Bildungswesen abgesehen, hängt die Antwort auf diese Frage vom einzelnen Lehrer ab. Er kann tatsächlich das Ergebnis einer schriftlichen oder mündlichen Kontrolle als Rückmeldung auf seine unterrichtlichen Anstrengungen ansehen und gegebenenfalls die Ursache für einen Mißerfolg bei seiner Unterrichtstätigkeit suchen. Er kann es sich aber auch bequem machen und Mißerfolge der "schlechten Klasse" anlasten. Er kannund dazu ist die Versuchung umso größer, je weniger der Lehrer geleistet hat - den Mißerfolg dadurch vermeiden, daß er die Anforderungen minimal wählt und die Arbeitsergebnisse der Schüler mit einem zu großzügigen Maßstab mißt.

 Leider gibt es Lehrer, die gegen die Versuchung der Manipulation der Noten nicht gefeit sind. Die Gefahren, die die zuletzt genannte Lehrergruppe für das Bildungsniveau mit sich bringt, könnte mit Prüfungsanforderungen gebannt werden, die dem Einflußbereich des Lehrers entzogen sind. 

Früher war die "Aufnahmeprüfung" eine solche Prüfung. Alle Kinder der vierten Klassen eines Bundeslandes mußten dieselben Aufgaben bearbeiten. Zur Vereinheitlichung der Korrektur trugen straffe Korrekturanweisungen bei. Diese Aufnahmeprüfungen sind dem Druck mancher Lehrerverbände und einem dadurch begünstigten Druck der Öffentlichkeit zum Opfer gefallen. Wichtige Sachargumente dafür waren

- Die Vorbereitung auf die Aufnahmeprüfung hat zu einer Vernachlässigung der schwächeren Schüler in vielen Klassen geführt.
- Wenn man der Zulassung zum Gymnasium ein höheres Prestige zugesprochen hat, besteht eine Ungerechtigkeit darin, daß dieser Erfolg des einzelnen auch davon abhing, ob er einen "guten" oder einen "schlechten" Lehrer hatte.

Mit dem letzten Punkt ist das Problem Fördern und Auslesen angesprochen, das vielfach in einen Gegensatz Fördern oder Auslesen uminterpretiert wird. Die Idee, eine Gesellschaft könne auf das Auslesen verzichten, wird spätestens dann auch für den engagiertesten Vertreter dieser Idee fragwürdig, wenn er sich dem Messer eines Chirurgen unterwerfen muß oder sogar nur, wenn die Autoreparatur schlampig gemacht worden ist! Dann entsteht plötzlich eine Aufgeschlossenheit für Leistung auch bei denen, die sich sonst mit dem Verteufeln des Begriffs Leistung nicht genugtun können.

Die Neigung, die Arbeit in der Schule auf überprüfbare Ziele auszurichten, ist gering. "Zentralabitur - der Fetisch Objektivität und was dahinter steckt" (F Waag, 1980) oder "Die Hauptschulabschlußprüfung droht" (F GEW-Zeitung, 1982) sind Überschriften in Publikationsorganen von Lehrerverbänden, die zum Ausdruck bringen, daß die Überprüfbarkeit der Arbeitsergebnisse der Schule nicht als erstrebenswertes Ziel gilt.

Der Grundsatz "Wer lehrt, prüft!" wird mit Zähnen und Klauen verteidigt.

Die eingehende Erörterung dieses Fragenkreises würde Rahmen und Zielsetzung dieser Schrift sprengen und von den Problemen des Mathematikunterrichts entfernen. Auf der anderen Seite ist die mangelnde Durchsichtigkeit der Arbeit in der Schule ein wesentlicher Grund dafür, daß in den letzten Jahren zahlreiche Ansätze zu einer Verbesserung der Arbeitsbedingungen für die Lernenden aller Altersstufen sich nicht durchsetzen konnten. 

Mein Anliegen ist es, Alternativen aufzuzeigen, die der  einzelne Lehrer aufgreifen und damit in den von ihm unterrichteten Klassen der nachwachsenden Generation bessere Lern- und Orientierungsmöglichkeiten bieten kann. Zugleich hoffe ich, deutlich zu machen, daß durch einige grundsätzliche Änderungen der Mathematikunterricht im allgemeinen effektiver werden könnte.
 

Es wird weithin angenommmen, daß die Unterrichtsziele im allgemeinen und für den Mathematikunterricht im besonderen durch die Lehrpläne vorgeschrieben werden. Wir überprüfen diese Annahme durch Betrachtung einiger Lehrpläne.

Ich beginne mit dem preußischen Lehrplan für die Gymnasien aus dem Jahr 1902 für die Klassen 5 bis 7 - nach den heute üblichen Bezeichnungen - und zitiere nach Lietzmann (F Lietzmann, Methodik des mathematischen Unterrichts 1919,S.223). Dort wird aufgeführt für

"Arithmetik und Algebra: Rechnen mit positiven ganzen und gebrochenen Zahlen; die bürgerlichen Rechnungsarten.
 Geometrie (nur für Klasse 7): Propädeutik. Lehre von Geraden, Winkeln und Dreiecken."

Den amtlichen Lehrplänen sind methodische Bemerkungen beigefügt. Ich zitiere die allgemeinen Bemerkungen und einen Auszug zur speziellen Aufgabe des Rechenunterrichts:

"1. Für die höheren Lehranstalten besteht die wichtigste Aufgabe des mathematischen Unterrichtes in einer Schulung des Geistes, welche den Schüler befähigt, die erworbenen Anschauungen und Kenntnisse in selbständiger Arbeit richtig anzuwenden. Auf allen Gebieten dieses Lehrfaches ist daher ein klares Verständnis der zu entwickelnden Sätze und ihrer Herleitung ebenso wie Übung und Gewandtheit in ihrer Anwendung zu erzielen. Demnächst muß, wie jeder andere Unterricht, so auch der mathematische, sich die Pflege der Muttersprache angelegen sein lassen, ein Gesichtspunkt, der besonders bei der Korrektur der schriftlichen Arbeiten zur Geltung kommt, namentlich für die selbständigeren häuslichen Ausarbeitungen, die in den oberen Klassen neben den regelmäßigen Klassenübungen in der Regel alle vier Wochen zu fordern sind.
 2. Der Rechenunterricht hat Sicherheit und Geläufigkeit in den Operationen mit bestimmten Zahlen zu erstreben. ... "

Es leuchtet unmittelbar ein, daß diese Lehrpläne keine Auskunft darüber geben, ob - mein Beispiel von S. xx - 169/288*192/91 noch zuverlässig im Kopf gerechnet werden soll, oder ob es genügt, wenn die Schüler schriftlich 5/12*3/5 berechnen können, sofern sie nicht unter Zeitdruck stehen. Nochmals Lietzmann zu dieser Frage (F a.a.O.; S. 228): "Man muß sich klar darüber sein, daß die amtlichen Lehrpläne die einzige Vorschrift darstellen, die Einheitlichkeit des Unterrichts innerhalb des Staates, innerhalb der einzelnen Schule zu gewährleisten."

Jahrzehntelang hat sich an der Form der Lehrpläne nur wenig geändert. Erst zu Beginn der Siebzigerjahre hat die in Verbindung mit dem programmierten Unterricht entwickelte "Lernzielanalyse" auch die Form der Lehrpläne verändert. Am deutlichsten kam dies in den Lehrplänen des Landes Hessen zum Ausdruck. Zuerst fällt der vergrößerte Umfang der Lehrpläne ins Auge. Während die preußischen Lehrpläne von 1902 mit einer halben Druckseite und noch rund zwei Seiten Anmerkungen auskamen, umfassen die "Rahmenrichtlinien Sekundarstufe I Hessen" von 1972 nunmehr 125 Druckseiten allein für das Fach Mathematik. Davon sind vier Seiten solche mit allgemeinen Bemerkungen. Ich gebe für unseren Zusammenhang den Teil 1.2 "Lernzielermittlung und Lernzielbeschreibung" im Wortlaut wieder:

"Die mathematischen Lehrgegenstände wurden durch Analyse vorliegender Literatur aufgrund von Erfahrungen der Mitglieder der Fachgruppe ausgewählt. Die Empfehlungen und Beschlüsse der Kultusministerkonferenz wurden dabei berücksichtigt. Die ausgewählten mathematischen Lehrgegenstände wurden in Lernzielbeschreibungen dargestellt. Auswahl und Anordnung erfolgten nach fachdidaktischen Grundsätzen sowie lernpsychologischen und methodischen Überlegungen. Dabei wurde angestrebt, Beziehungen zu den oben genannten allgemeineren Lernzielbeschreibungen herzustellen und Umweltsituationen zu berücksichtigen. Die im Plan genannten Ziele sind nicht aus übergeordneten Lernzielen abgeleitet, wie das von Theorien der Curriculumentwicklung gefordert wird.

Der Feinheitsgrad ist unterschiedlich. Besonders bei neuartigen Unterrichtseinheiten wurde versucht, durch ausführliche Beschreibungen dem Lehrer Hilfen zu geben. Ein Teil der Ziele beschreibt Verhaltensweisen, die vom Schüler erreicht werden sollen. Andere Ziele sind allgemeiner formuliert; sie müssen vom Lehrer in Form von Feinlernzielen konkretisiert werden."

Es fällt auf, daß sich die Lehrplankommission genötigt sieht, zu Erwartungen der Curriculumwissenschaft Stellung zu nehmen. 

Zu jedem Themenbereich wird ein Zeitraum für die Behandlung des Themas empfohlen. Die Ziele sind fast ausnahmslos verbal formuliert. Für Klasse 5 sind 278 "Feinlernziele" angegeben, für Klasse 6 weitere 284. Diese Ziele sind nicht nur, wie in den einleitenden Bemerkungen angegeben, von unterschiedlicher Feinheit, auch ihre Aussagekraft in Bezug auf die konkrete Unterrichtsarbeit ist recht unterschiedlich. Einige Beispiele  aus dem Abschnitt 7.7 (Bruchzahlen - Multiplikation und Division) - erläutern dies:

"(1) Erkennen, daß man einen Bruch als Namen einer Zahl (sogenannte Bruchzahl) auffassen kann.
 (2) Wissen, daß n/1 und n dieselbe Zahl bezeichnet, also jede natürliche Zahl eine besondere Bruchzahl ist.
 (3) Entscheiden können, ob ein vorgegebener Bruch eine natürliche Zahl bezeichnet. ...
 (7) Die Regel für die Multiplikation von Bruchzahlen formulieren und anwenden können. ... "

Von der Absicht dieser Darstellung her verzichte ich auf die Erörterung der fachdidaktischen Probleme bei den ausgewählten Formulierungen und weise nur darauf hin, daß zum Beispiel das Ziel (7) wesentlich höhere Anforderungen an Lehrer und Schüler stellt als das Ziel (1). Auch der fachdidaktisch nicht interessierte Leser erkennt, daß abgesehen vom fachlichen Inhalt die Wortwahl "erkennen, wissen, entscheiden, formulieren, anwenden" problematisch ist, und daß insbesondere wenig Möglichkeiten bestehen, das Erreichen dieser Ziele bei einem einzelnen Schüler zu überprüfen.

 Am deutlichsten wird dies beim Wort "formulieren". Nur wenn darunter "hersagen" verstanden wird, läßt sich dieses Ziel überprüfen. Andernfalls kann nicht festgestellt werden, ob der Schüler die Regel aktiv formuliert oder ob er sie auswendig hersagt.

Auf die Frage, ob der Schüler im Kopf das Produkt von 169/288 und 192/91 berechnen können soll, oder ob es genügt, wenn er schriftlich 5/12*3/5 berechnen kann, geben die hessischen Rahmenrichtlinien keine Auskunft.

 Ähnliche Zielformulierungen wie bei den Hessischen Lehrplänen findet man bei anderen Lehrplänen, die in der Zeit dieses Umbruchs im Bildungswesen entstanden sind.

 Drei Jahre später hat man die Übertreibungen korrigiert.Am besten kann man dies an den "Normenbüchern" (F Einheitliche Prüfungsanforderungen in der Abiturprüfung - Mathematik, KMK, 1975) sehen. Ich beschränke mich auf das Gebiet der Analysis:

Zuerst wird angegeben, mit was für Funktionen Analysis getrieben werden soll. Dann folgen 36 Einzelziele, die bereits verbal so scharf beschrieben werden, daß der fachlich vorgebildete Leser sie mit einiger Mühe wieder in inhaltliche Anforderungen umsetzen, das heißt, passende Aufgaben konstruieren kann. Darüber hinaus kann der Leser an zwei Beispielen sein Vorgehen überprüfen. Auch diese Beispiele können als charakteristisch angesehen werden. Anhand der Beispiele wird zudem erörtert, wie im einzelnen die Überprüfung der Ziele aussehen soll. -  Wenn ich die Normenbücher auf meine Frage aus der Bruchrechnung übertrage, so bleiben zwar noch gewisse Unsicherheiten, ich erfahre aber mindestens in der Tendenz, ob - auf das Gebiet der Bruchrechnung übertragen - die Lösung der schwierigeren Aufgabe von oben im Kopf oder ob die Lösung der einfacheren auf dem Papier erwartet wird.

Diese Präzision hat zu einer scharfen Kritik von vielen Seiten geführt. Die Angabe von klaren Zielen wird von Lehrerseite als unerträgliche Gängelung für die Lehrer gebrandmarkt. Eine diesbezügliche Kritik potentieller Abnehmer für die in den Normenbüchern beschriebenen Mathematikkenntnisse ist mir nicht bekannt geworden. Auch an diesem Beispiel wird also eine Diskrepanz zwischen den Wünschen der Abnehmer von Mathematikkenntnissen und denen der Lehrer deutlich.

Für die derzeit in Arbeit befindlichen Lehrplanrevisionen ist zu erwarten, daß die Richtung eher wieder zu einer größeren Unverbindlichkeit der zu erreichenden Ziele geht. Dafür sind unter anderem auch juristische Gesichtspunkte maßgebend, da damit gerechnet werden muß, daß Klagen auf einen die Ziele vermittelnden Unterricht umso weniger zurückgewiesen werden können, je genauer diese Ziele überprüfbar sind.

Offenbar gibt es einen Interessengegensatz zwischen den Abnehmern von Mathematikkenntnissen und denen, die diese Kenntnisse - weitgehend durch ein staatliches Monopol gesichertals Ziele präzisieren und vermitteln. Mit diesen gegensätzlichen Interessen und dem weiten Spielraum für Manipulationen innerhalb dieses Monopols könnte erklärt werden, warum das Problem der Optimierung des Unterrichts nicht nachdrücklich behandelt wird. Während das Problem der Noten breit diskutiert wird und diese Diskussion überall große Anteilnahme findet, wird das Problem der Leistung zwar von der Seite der Abnehmer von Mathematikkenntnissen zur Sprache gebracht; die Eltern entwickeln indessen in diesem Bereich kaum Initiativen. Die auf Verbesserung der Schülerleistungen gerichteten Aktivitäten bleiben daher ohne großen Widerhall.

Es wäre müßig, sich mit den erörterten Sachverhalten auseinanderzusetzen, wenn es keine Alternative gäbe. Deshalb will ich im nächsten Abschnitt einen grundsätzlich andersartigen Ansatz beschreiben, dessen Übernahme durch die allgemeinbildenden Schulen dort eine Revolution der Methoden nach sich ziehen könnte. Von dieser Revolution hätten sowohl Schüler als auch diejenigen, die später auf die bei diesen Schülern entwickelten Fähigkeiten zurückgreifen wollen, neben wenigen Nachteilen unschätzbare Vorteile. Die Schüler könnten leicht erkennen, welche Fähigkeiten von Ihnen erwartet werden. Die Abnehmer mathematischer Fähigkeiten wären darüber informiert, auf welche Kenntnisse und Fertigkeiten sie aufbauen können. 
 

Im letzten Abschnitt ist gezeigt worden, daß die meisten Lehrläne in ihrer jetzigen Fassung ein hohes Maß an Unverbindlichkeit aufweisen. Am ehesten erfüllen die "Normenbücher" weitergehende Anforderungen. Die verbale Beschreibung von Zielen, die von der allgemeinen Didaktik und der Curriculumtheorie her gefordert wurden, führt nicht aus dieser Unverbindlichkeit heraus.

Zu Beginn der Siebzigerjahre hat ein kleines Büchlein von Mager (F Mager Preparing Objectives for Programmed Instruction, 1961; übersetzt Mager, 1965; Neubearbeitung der Übersetzung Mager, Beltz Verlag, Weinheim 1969) weite Verbreitung und Beachtung gefunden. Der Inhalt des Büchleins läßt sich kurz zusammenfassen: Ein Ziel gewinnt in dem Maß an Präzision, in dem das vom Lernenden gewünschte Verhalten in der Beschreibung deutlich wird. Zu dieser Beschreibung gehören neben der Schilderung des Verhaltens selbst die Bedingungen, unter denen das Verhalten gezeigt werden soll, und ein Meßinstrument, mit dem festgestellt werden kann, ob das angestrebte Endverhalten gezeigt wird.

Von einer anderen Seite setzt sich Eckel, der sich nach einem mathematischen Studium lerntheoretischen Fragen zugewandt hat, mit dem Problem der Zielbeschreibung auseinander (F Eckel, 10 Thesen zur Entwicklung einer Lernwissenschaft, DIPF 1970). 

Die Forderungen von Eckel sind wesentlich konkreter bestimmt als die von Mager: Für ihn wird ein Ziel durch einen endlichen Aufgabenkatalog repräsentiert, wobei er fordert, daß dieser "Lernzielhomogenität"besitzt.     Er versteht darunter eine Gesamtheit von Schülern, für die er fordert: "... Für sämtliche Schüler dieser Gesamtheit muß ein und dasselbe Lernziel gelten." (F a.a.O. S.3). Die Problematik, die in einer zu fordernden Homogenität der zu einem Zielkatalog gehörenden Aufgabe bezüglich des erwarteten Schülerverhaltens liegen, diskutiert Eckel nicht.

 Den Standpunkt von Eckel verurteilt Klauer (F Klauer, Lernzielorientierte Tests, Verlag Schwann, Düsseldorf 1972) ohne Bezug auf Eckel als "ultraoperationalen" Ansatz. Er stellt zutreffend fest, daß mit diesem Ansatz das Validitätsproblem für Erfolgskontrollen - die sogenannten "Tests" - gelöst ist, aber er schreckt im Einklang mit anderen vor dieser Lösung des Problems der Validität zurück. (Unter Validität versteht man die Sicherheit, daß mit der Lernkontrolle das angestrebte Ziel tatsächlich überprüft wird.)

Klauer meint, es "muß das Lehrziel als Persönlichkeitsmerkmal definiert werden, das sich in bestimmtem Verhalten äußert. Das Verhalten ist dann nicht Lehrziel, sondern es zeigt die Erreichung des Ziels nur an" (F a.a.O. S. 18).

 Der Pragmatiker sieht keine Notwendigkeit für diese subtile Unterscheidung, da ja auch bei Klauer der Nachweis für das Erreichen des Ziels über das Bestehen des "Tests" geführt wird. Wenn für die Metaebene ohnehin nur über die beobachtbaren Verhaltensäußerungen ein Zugang besteht, und wenn die Überlegungen in der Metaebene keine Auswirkungen auf das beobachtbare Verhalten bewirken, fällt die Einschränkung auf die Ebene des Beobachtbaren nicht schwer. Dies gilt in besonderem Maß für mathematische Ziele.

Auf die theoretische Seite des Problems komme ich in Verbindung mit dem Meßproblem im Abschnitt 1.8 nochmals zurück.

In der Praxis ist der ultraoperationale Ansatz schon lang bewährt; er entspricht auch weitgehend den Erwartungen der Abnehmer. Ich will Beispiele dafür geben:

Die mündlichen Aufgaben für die Abitursprüfung für Externe in Brasilien wurden früher in einem Zufallsverfahren aus einem endlichen Vorrat ausgelost. (Ob das Verfahren heute noch angewendet wird, habe ich nicht festgestellt.) Die Aufgaben befanden sich in einer Lostrommel ähnlich der, die wöchentlich bei uns im Fernsehen für die Auslosung der Lottozahlen verwendet wird. Gelegentlich durfte der Kandidat selbst die Trommel drehen, um seinen "ponto" zu ziehen. Es ist mir nicht bekannt, ob die Aufgaben allgemein bekannt waren. Dies würde indessen bei einer hinreichenden Zahl von Aufgaben auch nicht schaden (F Siehe dazu nochmals Eckel 1970, S. 8; Die Ziele sind hier durch die "pontos" definiert.). 

Das bei Eckel nicht diskutierte Problem der Aufgabenklassen ist im Fach Mathematik verhältnismäßig einfach zu lösen. Der überwiegende Teil aller "vernünftigen" Fragestellungen besitzt eine eindeutige Antwort. Da, wo dies nicht der Fall ist, kann trotzdem in der Regel eindeutig festgestellt werden, ob eine gegebene Antwort korrekt ist oder nicht.

Aufgaben zur Feststellung von Mathematikkenntnisse lassen sich aus zwei Grundtypen von Zielen zusammensetzen:

- Beherrschung eines endlichen Vorrats von Paaren. Die Beherrschung des Ziels wird nachgewiesen dadurch, daß zu einem Paar (a/x) oder (x/b) aus dem Vorrat mit einer Leerstelle x bei fest gewähltem a beziehungsweise b alle zum Vorrat gehörenden Einsetzungen x gefunden werden können. Durch Angabe von zugelassenen oder ausgeschlossenen Hilfsmitteln und einer maximalen Bearbeitungszeit kann der Begriff "Beherrschung" noch weiter präzisiert werden.
- Beherrschung eines endlichen oder unendlichen Vorrats von Typen über endlichen oder unendlichen Parametermengen.

Beispiele für die erste Art sind das kleine Einmaleins ebenso wie etwa die Kenntnis charakteristischer Eigenschaften spezieller Vierecke oder die Kenntnis der Ableitungsregeln. Für x im Paar (2*3/x) ist beispielsweise 6 die einzige richtige Einsetzung.

Ein Beispiel für die zweite Art ist die Anwendung eines Lösungsverfahrens für eine quadratische Gleichung ax² + bx + c = 0. Zu jedem Tripel (a,b,c) ist ein Paar von Einsetzungen x1 und x2 eindeutig bestimmt. Die quadratische Gleichung wird also als endlicher Typus über drei unabhängigen Parametern verstanden. Auch Textaufgaben gehören in dieses Schema, wobei die Einkleidungen durch Wahl nichtnumerischer Parameter festgelegt werden. Nur da, wo es sich im Mathematikunterricht um Beschreibungen handelt, ist die Richtigkeit der Antwort nicht immer eindeutig überprüfbar.

Sowohl die Ziele erster Art als auch die Ziele zweiter Art lassen sich durch Aufgabenklassen beschreiben. Bei den Zielen der zweiten Art ist es nicht erforderlich, daß es sich um endliche Klassen handelt. Es kann jedoch zweckmäßig sein, durch Begrenzung der Parameterauswahl eine endliche Teilauswahl einer Aufgabenklasse herzustellen.

In der Praxis kann man sich sogar meistens auf die Angabe von charakteristischen Aufgaben als Repräsentanten für die Aufgabenklasse beschränken. So geht beispielsweise die Deutche Mathematikervereinigung bei ihrer Denkschrift zum Mathematikunterricht an Gymnasien vor (F Denkschrift - Zum Mathematikunterricht an Gymnasien DMV 1976). Die DMV formuliert eine "Beschreibung von Kenntnissen, Fertigkeiten und Fähigkeiten, die von jedem Abiturienten erwartet werden." (F a.a.O., S. 6 ff.) und verlangt dort u.a. "das Auflösen einfacher Gleichungen - wie etwa 1/f = 1/g+1/b (Linsenformel) oder s = 0.5*gt² (beschleunigte Bewegung) - nach jeder der darin vorkommenden Variablen."

Wesentlich mehr im Detail ausgearbeitet hat diesen Ansatz der Deutsche Volkshochschulverband mit seinem Zertifikatssystem (F Information über das Zertifikatssystem vom Deutschen Volkshochschulverband, Holzhausenstraße 21, 6 Frankfurt). Dieses Zertifikatssystem ist zusammen mit dem Österreichischen und Schweizerischen Volkshochschulverband entwickelt worden. Für jedes der Zertifikate - z.B. "Mathematik Grundwissen A" - wird jährlich einmal zentral aus vorgegebenen Aufgabenklassen eine Prüfungsarbeit zusammengestellt. Diese Prüfung wird zentral ausgewertet. Das Bestehen der Zertifikatsprüfung "Mathematik Grundwissen A" wird von einer Reihe von Bundesländern für die externe Realschulabschlußprüfung anerkannt.

Bei den Zielbeschreibungen für die Zertifikate erfahre ich, ob ich die schwierige Bruchrechenaufgabe - siehe das Beispiel aus 1.4 - im Kopf oder die einfache Bruchrechenaufgabe ohne Zeitdruck schriftlich lösen können muß. - Die Ziele sind also transparent. Die Ergebnisse einer Zertifikatsprüfung beschreiben die Mathematikkenntnisse eines Teilnehmers fast so genau, wie die Glühlampenkennzeichnung Aufschluß über die Eigenschaften der Glühlampe gibt.

Von den Gegnern präziser Ziele wird angeprangert, daß ein Unterricht mit derart festgelegten Zielen die pädagogische Freiheit des Lehrers aufhebe, und daß ein solcher Unterricht keine Bildung vermittle, sondern sich auf stumpfen Drill beschränke - ein merkwürdiges Verständnis von den Aufgaben des Unterrichts. Im Kapitel 3 werde ich darlegen, daß im Gegenteil ein Unterricht zu vorab von außen festgelegten Zielen besondere Möglichkeiten bietet, die volle Intelligenz des Lernenden für das Erreichen des Ziels fruchtbar werden zu lassen und damit einen wichtigeren Beitrag zu Bildung zu leisten als die in der Praxis weitverbreitete Notwendigkeit der Anpassung an die besonderen persönlichen Eigenheiten des zufällig für den Schüler verantwortlichen Lehrers.

- Ist die Betonung der Rolle der Lehrerpersönlichkeit nicht zum Teil ein Stück Interessenvertretung der Lehrerseite zu Lasten wehrloser Schüler? 
 Gibt es nicht viele Schüler, die von ihren Lehrern mehr negativ als positiv beeinflußt werden? 

Wie groß der Ermessenspielraum - im ungünstigen Fall der Spielraum für den Mißbrauch - für den Lehrer ist, wird im nächsten Abschnitt deutlich werden. Während zum Beispiel bei den Zertifikatskursen des Deutschen Volkshochschulverbands festgelegte Qualifikationen vermittelt werden, ist dem einzelnen Lehrer in weiten Grenzen freigestellt, was für Ziele er in seinem Unterricht verfolgen will. Er kann außerdem nach eigenem Ermessen das Ergebnis seiner Unterrichtsarbeit in Noten für die Schüler umsetzen.
 

Im Alltag des Mathematikunterrichts erfolgt die Feststellung der Mathematikkenntnisse des Schülers überwiegend durch Klassenarbeiten. Aus der Klassenarbeit entnimmt der Schüler die Forderungen des Mathematiklehrers. Unabhängig davon, ob andere Ziele des Unterrichts - auch "Bildungsziele" - angestrebt oder sogar erreicht worden sind, besteht in den Augen des Schülers die entscheidende Rückmeldung über seine Arbeit fast ausschließlich aus der Note der Klassenarbeit. Wir müssen infolgedessen davon ausgehen, daß die Klassenarbeiten die Vorstellungen des Schülers von der Mathematik wesentlich beeinflussen.

Die Bedeutung der Klassenarbeiten für den Schüler rechtfertigt es, daß wir uns eingehend mit dem Thema Klassenarbeiten befassen. An die Stelle theoretischer Erörterungen setze ich eine einzelne Klassenarbeit. Diese wähle ich so aus, daß daran wesentliche Gesichtspunkte des allgemeinen Problems deutlich werden.

Eine Arbeit aus dem fünften Schuljahr ist besonders geeignet, da die Thematik dieses Schuljahrs jedem möglichen Leser dieser Schrift in der Schule unmittelbar begegnet ist. Auch jeder Mathematiklehrer hat mit dem Mathematikunterricht dieser Klasse zu tun: Entweder schafft er in der Grundschule die Voraussetzungen für die fünfte Klasse, oder er unterrichtet selbst in dieser Stufe, oder er will in seinem Unterricht auf die Ergebnisse  dieser Stufe aufbauen.

Um ein geeignetes Beispiel für unsere Überlegungen zu finden, habe ich vor einiger Zeit die gesamten Mathematikklassenarbeiten von zehn fünften Klassen der Hauptschule, der Realschule und des Gymnasiums miteinander verglichen. In jeder der untersuchten Klassen fand sich eine Arbeit, die in den Grundzügen mit der im folgenden wiedergegebenen Klassenarbeit übereinstimmt:

Beispiel einer Klassenarbeit (5. Schuljahr 1970/71; Großstadtklasse, Hauptschule; 19.11.1970)

1.) Schreibe in römischen Ziffern 936, 1 312, 989!
2.) Schreibe in arabischen Ziffern MCDLXXIV, MCCXLI!
3.) Addiere 2 654 und 1 346! Multipliziere dann die Summe mit 1 000!
4.) Bauer Mäckler verkauft ein Rind zu 1 678 DM und acht Ferkel zu je 67 DM Vom Erlös kauft er einen Häcksler. 136 DM behält er übrig. Was kostet die Maschine?
5.)Ein Händler kauft zwei teure und drei billige Fahrräder für zusammen 694 DM. Was kostet eines der billigen Fahrräder, wenn ein teures Fahrrad 158 DM kostet?

Diese Klassenarbeit habe ich in der Zwischenzeit rund fünfhundert Lehrern und Lehramtsstudenten und anderen Erwachsenen vorgelegt. Wenn Sie sich an einem Versuch beteiligen wollen, dann betrachten Sie die Arbeit nochmals, ehe Sie weiterlesen.- Ist Ihnen etwas aufgefallen?

Die bisherigen Teilnehmer an diesem Versuch haben bei der Aufforderung, sich zu äußern, unter anderem folgendes angemerkt:

- Viele Textaufgaben;
- Themenbereich Landwirtschaft für Großstadtklasse ungeschickt gewählt;
- Frage sollte bei Textaufgaben nicht vorgegeben sondern von den Schülern erarbeitet werden (Dies provozierte meistens bei den anderen Teilnehmern die Gegenthese.);
- Zu wenig Beispiele in den Aufgaben 1 und 2;

Die folgenden Bemerkungen wurden nicht gemacht, obwohl ich sie erwartet hätte:

- Die römischen Zahlzeichen sind keine Ziffern;
- Das Beispiel 989 ist problematisch; die Regeln für die römische Zahlschreibweise müssen im Detail behandelt worden sein, wenn das Ergebnis eindeutig sein soll. Abweichende Übersetzungen sind geschichtlich belegt.
- Bei Aufgabe 3 wird der Bereich bis zu einer Million überschritten.
- Die Aufgaben 4 und 5 sind in der Struktur sehr ähnlich. Aufgabe 5 ist einfacher und sollte deshalb vor Aufgabe 4 stehen.

Beim zuletzt genannten Punkt gehen die Meinungen der Versuchsteilnehmer auseinander. Die Überschreitung der Million wird überwiegend gutgeheißen. Die beiden zuerst genannten Punkte wurden von keinem Teilnehmer erkannt, aber allgemein akzeptiert.

Ein weiteres Ergebnis der jeweiligen Diskussionen verdient es, festgehalten zu werden:
 
 

Der Versuch geht weiter: Entwerfen Sie eine Punktwertung für diese Klassenarbeit, ehe Sie weiterlesen. - Dieselbe Aufforderung habe ich an alle bisherigen Teilnehmer des Versuchs gerichtet. Nur in wenigen Fällen wollten die Teilnehmer vor dieser Arbeit die Gesichtspunkte, unter denen die Bewertung erfolgen soll, erörtern. Meistens hatten sie an dieser Stelle des Versuchs noch ein unbegrenztes Vertrauen in die eigene Kompetenz, auch wenn es sich nicht um Lehrer handelte.

Die folgende Tabelle gibt die Bewertungsvorschläge einer Gruppe von Realschullehrern wieder. Die 15 Teilnehmer sind aus einer größeren Gruppe zufällig ausgewählt in der Weise, daß in die Tabelle die beim Einsammeln der Vorschläge oben liegenden der Reihe nach aufgenommen worden sind.

Aufgabe     Teilnehmer
         1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15

I        1  3  4  6  3  3  3  3  3   3   2   3   3   3  1.5
II       1  2  4  5  3  2  3  2  3   2   2   2   2   1  1
III      2  2  3  6  1  2  4  2  1   3   4   2   2   3  0.5
IV       3  3  3  8  5  4  5  4  4   5   6   3   4   4  3 
V        3  3  6  9  6  5  5  4  5   6   6   3   4   5  3

Sie können jetzt Ihre Punktwertung mit den oben abgedruckten vergleichen. Es ist ganz unwahrscheinlich, daß eine davon mit Ihrer Punktzuweisung übereinstimmt.

Keine zwei dieser Bewertungen stimmen paarweise bei allen Aufgaben überein. Auch bei der Gesamtpunktzahl gibt es große Abweichungen. Diese schwankt zwischen dem kleinsten Wert 9 und dem größten Wert 34. Diese Schwankungen sind indessen weniger wichtig und aufschlußreich als die relativen Bewertungen der Aufgaben untereinander.

Es ist unerheblich, ob die Aufgaben der Reihe nach mit 1,1,2,3 und 3 oder mit 3,3,6,9 und 9 bewertet werden. Dies ändert nur die Gesamtpunktzahl, während bei diesen beiden Beispielen die Verhältnisse zwischen den Bewertungen der Einzelaufgaben übereinstimmmen.

Interessanter ist der Vergleich der Verhältnisse: Die Teilnehmer 1 und 11 bewerten Aufgabe 3 mit der doppelten Punktzahl wie Aufgabe 1; dagegen erhält Aufgabe 3 bei den Teilnehmern 5, 9 und 15 nur ein Drittel der Punkte, die diese Kollegen für Aufgabe 1 vorsehen. Die Gewichte verhalten sich also wie 1:6. Entsprechend fällt der Beitrag von Aufgabe 3 zur Gesamtpunktzahl aus: Bei 1, 7, und 11 liefert die Aufgabe 3 einen Beitag von 20% zur Gesamtpunktzahl; dagegen ist diese Aufgabe bei 5 und 15 nur mit 5% an der Gesamtpunktzahl beteiligt.

Die Untersuchung der anderen Aufgaben zeigt ebenfalls beträchtliche Schwankungen des Beitrags der jeweils betrachteten Aufgabe zur Geamtpunktzahl ebenso wie für das Verhältnis der Bewertungen der Aufgaben untereinander.

Wenn wir von der Gruppe von 15 Teilnehmern auf die Gesamtheit aller bisherigen Teilnehmer an dem Versuch übergehen, ergeben sich keine prinzipiell neuen Gesichtspunkte. Die Schwankungsbreite für die Gesamtpunktzahl nimmt, wie zu erwarten, noch etwas zu. Auch die Verhältnisse der Punktzahlen für die Bewertung eines beliebig herausgegriffenen Paares vom Aufgaben werden noch extremer. Größere Abweichungen als die aufgezeigten treten nur noch bei einem kleinen Teil der Versuchsteilnehmer auf. - Sie können nun bei Ihrem eigenen Versuch leicht feststellen, ob Ihre Punktzuweisungen im Rahmen der Bewertungen unserer Teilgruppe liegen.

Das Ergebnis dieses Versuchsschritts wollen wir festhalten:
 

Nachdem wir bei den Punktzuweisungen so große Abweichungen festgestellt haben, ergibt sich natürlicherweise die Frage, nach welchen Gesichtspunkten der einzelne Versuchsteilnehmer seine Punkte vergeben hat. Bezüglich der Gesamtpunktzahl können wir zwei Gruppen unterscheiden:

- Die erste Gruppe verwendet eine feste Gesamtpunktzahl. Unabhängig von der speziellen Klassenarbeit richtet der eine seine Punktzuweisungen so ein, daß er die Punktsumme 100 erhält, während andere Bewerter Punktsummen von 15, 20, 24 , 36 oder 48 bevorzugen.

- Die Mitglieder der zweiten Gruppe gehen von der Bewertung der Einzelaufgaben aus; die Punktsumme wird erst nach der Bewertung der Einzelaufgaben berechnet.

Ein Bewertungsschema läßt sich, wenn man von Rundungsproblemen absieht, leicht proportional in ein anderes mit einer anderen Gesamtpunktzahl umrechnen. Für das folgende beschränke ich mich daher auf die Erörterung von Gesichtspunkten, nach denen der einzelnen Aufgabe eine Punktzahl zugewiesen wird. Ich nenne die wichtigsten Gesichtspunkte, die von den Versuchsteilnehmern offengelegt wurden. Wie nicht anders zu erwarten, sind die Argumentationen widersprüchlich:

- Den schwierigeren Aufgaben gebe ich eine höhere Punktzahl als den leichteren, weil die Bearbeitung dieser Aufgaben höhere Anforderungen an den Schüler stellt. 
- Den leichteren Aufgaben gebe ich mehr Punkte als den schwierigen, damit auch meine schwachen Schüler eine Chance haben. 
- Ich gebe umso mehr Punkte für eine Aufgabe, je mehr Zeit die Schüler für die Aufgabe brauchen. 
- Für jedes Zwischenergebnis gebe ich einen Punkt.
- Für jeden Denkschritt bei der Lösung gebe ich einen Punkt.

Auf die Probleme, die mit den Begriffen "leichte" Aufgabe, "Bearbeitungszeit" und "Zahl der Denkschritte" zusammenhängen, will ich an dieser Stelle noch nicht eingehen. Sie selbst können jedenfalls, wenn Sie bisher an unserem Versuch teilgenommmen haben, überlegen, nach welchen Gesichtspunkten Sie Ihre Bewertung vorgenommen haben, und wie Sie Ihre Bewertungsgesichtspunkte rechtfertigen. Vielleicht stimmen Sie dann den folgenden Bemerkungen zu:

- Die beiden ersten Gesichtspunkte stehen in enger Verbindung zum Verhältnis der Anzahl der leichten und der schwierigen Aufgaben. Durch Verschieben dieses Verhältnisses kann der Einfluß auf die von den Schülern erreichten Gesamtpunktzahlen weitgehend ausgeglichen werden. Wenn schwierigere Aufgaben mit höherer Punktzahl bewertet werden sollen, dann darf die Anzahl dieser Aufgaben nicht zu groß sein, sofern der Lehrer einen "ordentlichen" Durchschnitt erzielen will. Entsprechendes gilt für die Zahl der leichten Aufgaben.

- In beiden Fällen wird vorausgesetzt, daß die "Schwierigkeit" der Aufgabe vom Lehrer richtig eingeschätzt wird.

- Wenn die Arbeitszeit das ausschlaggebende Kriterium ist, wird die Einschätzung durch den Lehrer problematisch. Soll nur die mittlere Arbeitszeit in Ansatz gebracht werden? Andernfalls läßt sich die Tatsache nicht berücksichtigen, daß die Verhältnisse der Arbeitszeiten für ein gegebenes Paar von Aufgaben in hohem Maß von den einzelnen Schülern abhängen.

Je nach Ansatz ergeben sich mehr oder weniger Zwischenergebnisse bei der Bearbeitung einer Aufgabe. Manche Schüler fassen verschiedene Lösungsschritte im Kopf zusammen. Dann sind nicht alle Zwischenergebnisse überprüfbar, wenn eines des angegebenen Teilergebnisse falsch ist.

- Der zuletzt genannte Gesichtspunkt kann nur dann angewendet werden, wenn sich die Zahl der Denkschritte erfassen läßt. Bei der Anwendung dieses Gesichtspunktes kommt es nicht nur zu Meinungsverschiedenheiten unter vrschiedenen Versuchsteilnehmern, sondern auch hier ist wieder der einzelne Schüler ausschlaggebend. Die Zahl der Denkschritte ist keine objektive Größe; sie hängt vielmehr vom speziellen Lösungsweg des einzelnen Schülers ab.

Unter Umständen hat die soeben abgeschlossenen Darlegung dazu geführt, daß Sie selbst sich erst jetzt über die Gesichtspunkte klar geworden sind, nach denen Sie den  einzelnen Aufgaben Punktzahlen zugewiesen haben. Vermutlich haben Sie keinen der aufgeführten Gesichtspunkt isoliert angewendet, sondern diese kombiniert, wobei die Gewichtung sogar bei jeder Anwendung eine andere gewesen sein kann.

Die Wissenschaft kann Ihnen für die Frage der Punktzuweisung keine verbindliche Vorschrift geben. Allerdings kann man die Zweckmäßigkeit der einzelnen Aspekte unterschiedlich einschätzen im Hinblick auf die Anwendung des Punkteschemas auf eine konkrete Schülerarbeit. Dafür sind natürlich solche Punktzahlen günstiger, die unmittelbar an beobachtbare Verhaltensäußerungen der Schüler geknüpft sind. Dies ist am einfachsten, wenn man die Punkte für die Zwischenergebnisse vergibt. Bei diesem Vorgehen tauchen nur dann Probleme auf, wenn die Schüler unterschiedliche Lösungsverfahren anwenden.

Wir wollen unseren Versuch damit fortsetzen, daß wir die Punktzuweisung an erreichbare Teilergebnisse binden:

- Für jedes richtige Teilergebnis in Aufgabe 1 geben wir einen Punkt. Aufgabe 1 erhält also zusammen 3 Punkte. 
- Für jedes richtige Teilergebnis in Aufgabe 2 geben wir gleichfalls einen Punkt. Aufgabe 2 erhält also zusammen 2 Punkte. 

Schon hier hätte sich die Frage der Berücksichtigung der Schwierigkeit stellen können. Aufgabe 1 wird allgemein eine größere Schwierigkeit zuerkannt als der Aufgabe 2. (Bei Aufgabe 1 muß der Schüler einen Sachverhalt aus einer ihm in der Regel vertrauten Darstellung in eine ihm weniger vertraute Darstellung übersetzen und dabei die Darstellungsregeln der fremden Darstellung aktiv beachten. Dagegen liegt bei Aufgabe 2 die fremde Darstellung in korrekter Schreibweise vor. Es gibt daher plausiblere und weniger plausible Übersetzungen.) Innerhalb der Aufgabe 1 weisen die Teilaufgaben gleichfalls verschiedene Schwierigkeit auf; die dritte Teilaufgabe ist vermutlich die schwierigste.

Während bei den Aufgaben 1 und 2 die Teilergebnisse bereits additiv aus der Aufgabenstellung hervorgehen, müssen die wahrscheinlichen Teilergebnisse bei den Aufgaben 3 bis 5 aus der Aufgabenstellung entwickelt werden. Wenn Sie sich weiterhin am Versuch beteiligen, lesen Sie bitte erst weiter, wenn Sie die Aufgabe 3 in Teilschritte zerlegt haben. - Sicher haben Sie einige der folgenden Schritte überlegt:

- Erkennen der Reihenfolge der Operationen 
- Erkennen der ersten Operation (Addition) 
- Lesen und übertragen der Operanden (Diese sind 2 654 und 1 346.) 
- Ausführen der ersten Operation (Berechnen der Summe, hier 4 000) 
- Erkennen der zweiten Operation (Multiplikation) 
- Lesen und übertragen der Operanden (Diese sind 4 000 und 1 000.) 
- Ausführen der zweiten Operation (Berechnen des Produkts, hier 4 000 000) 
- Hervorheben des Ergebnisses

Wir sind auf acht Teilschritte gekommen. Diese haben unterschiedliches Gewicht, und sie hängen stark an der Formulierung des Textes. Zum Beispiel könnte der 1. Teilschritt bereits zu einem häufigen Fehler führen, wenn der Term (2 654 + 1 346)*1 000 etwa so in Text umgesetzt würde: "Multipliziere die Summe von 2 654 und 1 346 mit 1 000." Manche Schüler würden dann versuchen, als erstes eine Multiplikation auszuführen, und würden dies auf unterschiedliche Weise realisieren.

In vielen Versuchsgruppen haben wir uns auf die folgende Punktzuweisung geeinigt:

- Erkennen der ersten Operation und der zugehörigen Operanden (2 654 + 1 346), 
- Ausführen der ersten Operation (Ergebnis: 4 000), 
- Erkennen und Ausführen der zweiten Operation (4 000*1 000 = 4 000 000).

Aufgabe 3 erhält damit 3 Punkte.

Bei den beiden anderen Aufgaben teile ich nur das Ergebnis der Diskussion mit:

Für Aufgabe 4 werden 4 Punkte vergeben, und zwar für

- Einnahmen für die Ferkel (67DM*8 = 536 DM) 
- Gesamteinnahmen (536 DM + 1 678 DM = 2 214 DM) 
- Kosten der Maschine (2 214 DM - 136 DM = 2 078 DM) 
- Ergebnissatz und korrekte Benennungen  (Der Häcksler kostet 2 078 DM).

Eine entsprechende Bewertung von Aufgabe 5 mit gleichfalls 4 Punkten:

- Kosten für die teuren Fahrräder (158 DM*2 = 316 DM)
- Gesamtkosten der billigen Fahrräder (694 DM - 316 DM = 378 DM) 
- Kosten für ein billiges Rad (378 DM:3 = 126 DM) 
- Ergebnissatz und korrekte Benennungen (Jedes der billigen Fahrräder kostet 126 DM)

Hauptdiskussionspunkte bei diesem Einigungsverfahren waren Fragen der äußeren Form der Darstellung der Lösung sowie die getrennte Bewertung für Ansatz und Rechnung.

Wenn Sie sich mit diesem Bewertungsschema vertraut gemacht haben, wird die Fortsetzung des Versuchs besonders interessant: Sie finden im Anschluß an diesen Abschnitt die Wiedergabe einer Schülerbearbeitung dieser Klassenarbeit, bei der die Korrekturbemerkungen des Lehrers entfernt worden sind. Wenden Sie das Korrekturschema auf die abgedruckte Bearbeitung an,ehe Sie weiterlesen!

Wie viele Punkte haben Sie dem Schüler gegeben? Aus der Tabelle können Sie entnehmen, wie 73 Lehrer korrigiert haben.

Punktzahl:       9     10     11     12     13     14     15
Häufigkeit:      1      4     19     20     20      8      1

81 % der Kollegen habe also 11, 12 oder 13 Punkte zugewiesen. Die zugewiesenen Punktzahlen streuen jedoch im Bereich von 7 Werten. (Es war vereinbart worden, im Ergebnis nur ganze Punktzahlen auszuweisen.) 

Wir können festhalten, daß die eingehende Erörterung des Bewertungsschemas nicht verhinden konnte, daß so große Abweichungen aufgetreten sind. Trotz unserer Vorarbeit blieb wieder ein hohes Maß von Unbestimmtheit:
 

Der Spielraum des Ermessens bei der Zuweisung von Punkten für Lösungsschritte des Schülers ist beträchtlich. Er ist so groß, daß im konkreten Fall trotz eines fest vereinbarten Bewertungsschemas zwischen 50% und 83 % der maximal erreichbaren Punktzahl für einen im Mittelfeld liegenden Schüler zugewiesen werden können.

Wieder suchen wir nach Gesichtspunkten, die für derartige Abweichungen verantwortlich sind:

- Wird für jeden Fehler gleichviel von der erreichbaren Punktzahl abgezogen? (In der ersten Teilaufgabe von (2) sind zwei Ziffern falsch.) 
- Werden unklare Schriftzeichen als Fehler bewertet (Aufgabe 1, 3. Teilaufgabe: M oder X als zweites Zahlzeichen)? 
- Wie wird eine unvollständige Rechnung bewertet? (Komplizierte Antwort in Aufgabe 3 auf eine falsche Frage: "Das war nicht gefragt" beziehungsweise "Die Multiplikation mit 1 000 hätte ihm keine Schwierigkeiten gemacht") 
- Wie wird eine richtige Rechnung mit einem falschen Zwischenergebnis bewertet?(Aufgabe 5: 315 DM:3 = 105 DM) 
- Wie wird eine logisch falsche Antwort bei richtiger Rechnung bewertet? (Aufgabe 4: "Er muß noch bezahlen"; Aufgabe 5: "5 Fahrräder zu je") 
- Werden Schreibfehler in die Wertung einbezogen? (Aufgabe 4: Farkel; Aufgabe 5: Fahhräder, fehlender Schlußpunkt) 
- Welches Gewicht wird der äußeren Darstellung beigemessen (Schrift, Unterstreichung von Zwischenergebnissen, Anordnung, Nebenrechnungen)?

In der Tabelle sind nur die Punktsummen wiedergegeben. Die oben wiedergegebenen Gesichtspunkte machen verständlich, daß die Abweichungen bei den Einzelaufgaben prozentual noch weitaus größer sind.

Unser Versuch ist fast abgeschlossen. Es fehlt nur noch die Note, die wir dem Schüler geben. Sie können jetzt, falls Sie dies nicht schon bei der Korrektur mit erledigt haben, selbst eine Note festlegen, ehe Sie weiterlesen!

Die beste Note, die von den bisherigen Versuchsteilnehmern vergeben worden ist, war 2,5  und die schlechteste 4. - Wie steht es mit der Umsetzung von Punktzahlen in Noten, steckt auch in diesem Schritt nochmals ein Willkürakt? Hören Sie auch dazu die Erläuterungen der Versuchsteilnehmer:

- Für 18 Punkte gebe ich eine 1; für jeden fehlenden Punkt ziehe ich eine Viertelsnote ab. 
- Die halbe Punktzahl gibt 4; damit versuche ich, hinzukommen. 
- Wenn ich alle Arbeiten korrigiert habe, mache ich eine Einteilung so, daß mein Durchschnitt zwischen 2,5 und 3,5 liegt, je nach dem, ob die Arbeit gut oder schlecht ausgefallen ist. (Was heißt "gut" beziehungsweise "schlecht" ausgefallen?) 
- Ich habe eine Tabelle für die Normalverteilung. Damit ist bei mir die wissenschaftliche Notengebung von vornherein gesichert!

Unser letztes Teilergebnis:
 

Die letzte Feststellung stimmt in Baden-Württemberg nicht mehr seit dem 24.1.1979:

"1. Bei der Bewertung einer schriftlichen Arbeit unter Verwendung eines Punkte-Systems liegt die Leistungsbewertung allein in der Vergabe der Punkte. Deren Umsetzung in das Notensystem ist rein arithmetischer Art. Sie ist einer erneuten pädagogisch-fachlichen Gesamtwertung nicht zugänglich. ..."(Verwaltungsgerichtshof Baden-Württemberg, Urt. vom 24.1.1979 - XI 1690/76 H). Das Gericht führt in seinem Urteil ferner aus, daß "Note = Note" sei und deshalb die Abstände zwischen den Noten proportional zu den Abständen zwischen den Punkten sein müssen.

Unser Versuch hat gezeigt, daß die Vergabe einer Note für die Bearbeitung einer herkömmlichen Klassenarbeit für einen einzelnen Schüler innerhalb einer Klasse nicht nach vorab festgelegten Regeln erfolgt. Die Note entsteht vielmehr in einer Folge von Entscheidungsakten des verantwortlichen Lehrers :

- Auswahl der Aufgaben 
- Festlegung des Bewertungsschemas 
- Zuweisung von Punkten zu Schülerleistungen 
- Übersetzung der Punktsumme in eine Note.

Der Hinweis, daß die Mittelwerte der Bewertungen nach dem Gesetz der großen Zahlen relativ stabil sind, hilft den von den Abweichungen betroffenen Schülern nicht. Diese Abweichungen können beträchtlich sein. Vergleichen Sie die Tabelle der 73 erfahrenen Lehrer mit der entsprechenden Tabelle von 98 Lehramtsstudenten:

Punktsumme      7   7,5   8   8,5   9   9,5   10   10,5   11
Häufigkeit     16   7    25   8    21   4     10    1      6

Hier ist die Zahl der an den Flanken der Verteilung liegenden Schüler beträchtlich größer. (F Siehe auch Maier, Leistungsbewertung im Fach Mathematik, BzM 1980, S. 217 -221)

Für den Abnehmer mathematischer Fertigkeiten - und in insbesondere für den Schüler selbst - ist die Note für eine Erfolgskontrolle im Mathematikunterricht nur ein Teilaspekt. Beide hätten gern eine Information darüber, was im Detail als mathematische Leistungsfähigkeit angesehen wird!

Es kann nicht das Ziel unserer Überlegungen sein, einen unbefriedigenden Zustand anzuprangern, wenn es nicht konkrete Möglichkeiten zur Verbesserung der Situation gibt.   Sicherlich können wir für lange Zeit nicht auf konventionelle Klassenarbeiten verzichten. Wir müssen uns freilich darüber im klaren sein, daß die Ergebnisse solcher Klassenarbeiten nicht als objektive Meßwerte angesehen werden können. Insbesondere aber müssen wir alles daransetzen,

- die Klarheit über die Zielsetzungen des Unterrichts zu verbessern, 
- die Objektivität der Kontrollen zu vergrößern und 
- die Willkürentscheidungen transparenter zu machen.

Ein Teil dieser Bemühungen zielt auf Veränderungen im Schulsystem ab. Wir werden jedoch sehen, daß auch der einzelne Lehrer viele Möglichkeiten besitzt, mit denen er zur Verwirklichung der eben genannten Forderungen beitragen kann. Wir werden zudem aufdecken können, daß die Beschäftigung mit diesem Thema nicht nur der Notengebung dient, sondern zugleich auch neue methodische Möglichkeiten eröffnet.
Als langfristiges Ziel müssen wir es - im Anschluß an die Eröterungen im Abschnitt 1.5 - ansehen, daß die Festlegung und Überprüfung der Ziele in einer Form erfolgt, die dem Prüfungsverfahren mehr Objektivität sichert. Dies ist umso weniger verzichtbar, je mehr Berechtigungen vom Ergebnis solcher Überprüfungen abhängen. 

Zur Transparenz gehört auch, daß die Bewertung der Aufgaben mit Punkten den Schülern vor Beginn der Arbeit mitgeteilt wird.

Es ist klar, daß mit einer vergrößerten Objektivität der Lernerfolgskontrolle auch die Arbeit des Lehrers bis zu einem gewissen Maß überprüfbar wird; dies wird jedoch den verantwortlich arbeitenden Lehrer nicht erschrecken und dazu beitragen, das Ansehen des Lehrberufs in der öffentlichen Meinung wieder zu steigern. Wie man eine solche Objektivität erreichen kann, soll im nächsten Abschnitt erörtert werden.
 

Im vorausgehenden Abschnitt hatten wir uns mit einer dem Schulalltag entnommenen Klassenarbeit beschäftigt. Dabei sind wir auf verschiedenartige Entscheidungsprobleme gestoßen:

- Bei der Auswahl der Aufgaben zu einer Klassenarbeit fallen solche Entscheidungsprobleme an.
- In die Entwicklung eines Bewertungsschemas gehen Entscheidungen ein.
- Die Anwendung des Schemas auf spezielle Schülerbearbeitungen zwingt erneut zu Entscheidungen.

Während die beiden ersten Entscheidungen für jede Klassenarbeit nur einmal getroffen werden müssen, wird die dritte Entscheidung bei jedem einzelnen Schüler erneut gefordert. Im Hinblick auf die Bedeutung der jeweiligen Entscheidungen für den einzelnen Schüler und auf die geforderte Gerechtigkeit wäre es notwendig, daß diese Korrekturentscheidungen nur von der vorliegenden Schülerarbeit, nicht dagegen vom Zeitpunkt der Korrektur oder vom Korrektor abhängen. Daß dies auch im Fach Mathematik nicht zutrifft, haben Sie im letzten Abschnitt feststellen können. 

In diesem Abschnitt wollen wir überlegen, in welchem Umfang die Objektivität der Korrektur, also die Auswertungsobjektivität, verbessert werden kann, und dabei auch auf einige Konsequenzen von "objektiv" auswertbaren Aufgabenstellungen eingehen.

Es ist unmittelbar einleuchtend, daß die Auswertungsobjektivität von der Form der Aufgabenstellung abhängt. Rütter (F Rütter, Formen der Testaufgabe, Beck, München 1973) hat sich eingehend mit möglichen Aufgabenformen befaßt. Er kommt dabei zu einer Grobgliederung in

- offene Aufgaben
- halboffene Aufgaben und
- geschlossene Aufgaben.

Trotz intensiver Empfehlung von offenen Aufgaben durch die Mathematikdidaktik scheinen im Schulalltag die geschlossenen und halboffenen Fragestellungen zu überwiegen. (Zum Beipiel befand sich bei der in 1.2 genannten Untersuchung zahlreicher Klassenarbeiten keine einzige offene Fragestellung unter den Aufgaben). Der Freiraum, der den Schülern für ihre Kreativität eingeräumt, in der Regel jedoch nicht zur Bewertung herangezogen wird, liegt fast ausschließlich im Bereich der Darstellung der Lösung, nicht aber bei den in die Lösung eingehenden mathematischen Inhalten. Dieser Sachverhalt rechtfertigt es, die geschlossenen Aufgaben daraufhin zu untersuchen, welche Ziele mit Aufgaben dieser Art konkretisiert werden können. Dabei will ich mich auf die für den Mathematikunterricht besonders gut anwendbaren Aufgabentypen beschränken. Diese sind

- Aufgaben mit gebundener Freiantwort,
- Lückenaufgaben,
- Auswahlantwortaufgaben des Typs 1 aus n,
- Auswahlantwortaufgaben des Typs x aus n.

Ich erläutere diese Aufgabentypen anhand der Aufgaben 1 und 2 der oben betrachteten Klassenarbeit. In der vom Lehrer verwendeten Fassung handelt es sich bei diesen beiden Aufgaben um solche mit gebundener Freiantwort. Die Ergebnisse der Teilaufgaben stehen eindeutig fest. Ohne zusätzliche mündliche Vereinbarungen bleibt jedoch offen, ob nur die gesuchten Zahlnamen oder auch die gegebenen aufgeschrieben werden sollen, in welcher Reihenfolge der Schüler seine Ergebnisse aufschreibt, wo der Schüler diese Ergebnisse notiert und anderes mehr.

In der Regel werden diese ungeschriebenen Vereinbarungen dem Lehrer erst dann bewußt, wenn er sich mit Kollegen über eine vorliegende Schülerbearbeitung unterhält. Unter Umständen sind die diesbezüglichen Forderungen des Lehrers nicht einmal konstant, so daß sich die Scbüler nicht darauf einstellen können. Von der Aufgabenstellung her ist nicht entscheidbar, ob als Bearbeitung 

Die Aufgabe kann in verschiedener Form in eine Lückenaufgabe umgeschrieben werden. Bezüglich Platzbedarf und Ökonomie der Korrektur weist die Tabellenform Vorzüge auf:

Ergänze in dezimaler beziehungsweise römischer Zahlschreibweise
 

Der Freiraum des Schülers bei der Bearbeitung ist deutlich eingeschränkt. Der Platz für seine Antworten und zum Teil sogar die Schriftgröße sind  festgelegt. Bezüglich der mathematischen Inhalte sind die Forderungen  - verglichen mit den Aufgaben 1 und 2 der Klassenarbeit im Abschnitt 1.6 - unverändert.

Nun dieselbe Aufgabe als Zuordnungsaufgabe:
 

Die eingeklammerten Zahlen sind hinzugefügt worden, um die Ratemöglichkeiten einzuschränken. 

Ein wesentlicher Unterschied zwischen der Zuordnungsaufgabe und der Lückenaufgabe liegt darin, daß es neben der aktiven Konstruktion der Lösung eine zweite Lösungsstrategie gibt. Der Bearbeiter kommt unter Umständen schon dann zum Ziel, wenn er die möglichen Zuordnungen auf ihre Plausibilität überprüft. Er erinnert sich möglicherweise daran, wie er die Unterscheidung von dreistelligen und vierstelligen dezimal geschriebenen Zahlen auf die römische Zahlschreibweise übertragen kann (Beginn mit M beziehungsweise C) und reduziert mit dieser Überlegung die ursprüngliche Zahl von 120 Zuordnungsmöglichkeiten (5!) auf nur noch 12 (3!*2!). Mit der Überprüfung der Endziffer können in unserem Beispiel weitere 11 Zuordnungsmöglichkeiten ausgeschlossen werden, so daß nur noch die richtige Lösung übrigbleibt. 

Durch Hinzufügen der in Klammern stehenden Zahlnamen wird die Strategie der Lösung durch Raten sehr erschwert.

 Inhaltlich gibt es einen weiteren Unterschied zwischen der Lückenaufgabe und der Zuordnungsaufgabe. Bei der Lückenaufgabe werden drei Übersetzungen aus der dezimalen in die römische Zahlschreibweise und zwei Übersetzungen in der umgekehrten Richtung verlangt. Bei der Zuordnungsaufgabe findet der Schüler die richtigen Paare auch dann, wenn er nur in einer Richtung übersetzt.

Bei Auswahlantwortaufgaben des Typs "1 aus n" weiß der Schüler im Voraus, daß von n verschiedenen angebotenen Alternativen nur eine richtig ist:
 

Dies ist eine Auswahlantwortaufgabe des Typs 1 aus 5. Von 5 angebotenen Antworten ist genau eine (im Beipiel: c) richtig. Neben der richtigen Antwort werden 4 "Distraktoren" angeboten, die von der richtigen Antwort ablenken können. Die Distraktoren werden so gewählt, daß falsche Antworten Aufschluß über typische Denkfehler geben. Sie tragen also zur diagnostischen Auswertung der Schülerantwort bei.

Der Platzbedarf ist bei Auswahlantwortaufgaben des Typs 1 aus n beträchtlich. Fünf Aufgaben von der Art unseres Beispiels wären erforderlich, um die gleiche Breite der Überprüfung wie bei der Lückenaufgabe zu sichern. Mehr noch als bei Zuordnungsaufgaben führt bei Aufgaben dieser Art eine geschickte Ratestrategie oft schneller zum Ziel als die aktive Lösung des Problems. Zudem enthalten Auswahlantwortaufgaben des Typs 1 aus n überflüssigen Ballast.

Auswahlantwortaufgaben des Typs x aus n unterscheiden sich von denen des Typs 1 aus n dadurch, daß der Bearbeiter die Zahl der richtigen Antworten nicht im Voraus kennt.Dadurch werden die Ratemöglichkeiten erheblich eingeschränkt:
 

Dies ist eine Auswahlantwortaufgabe des Typs x aus n. n hat im Beispiel den Wert 6. x hat in dieser Aufgabe den Wert 1 wie im Beispiel für die Aufgabe des Typs 1 aus n. Im Gegensatz zum vorausgehenden Beispiel weiß dies der Bearbeiter jedoch nicht; er muß vielmehr damit rechnen, daß x irgend einen der Werte zwischen 0 und 6 annimmt.

Bei der Aufgabenkonstruktion achtet man darauf, daß Aufgaben mit x = 2, 3 oder 4 gegenüber den anderen Werten für x zwar überwiegen, daß aber immer auch wieder einmal die extremen Werte 0 oder 6 auftreten, wo sich dies vom Inhalt der Aufgabe her anbietet.

Wie bei den Lückenaufgaben kann der Bearbeiter bei den Auswahlantwortaufgaben unter Umständen durch Raten eine richtige Antwort vortäuschen. Die Wahrscheinlichkeit, durch Raten zum  Erfolg zu kommen, wird vernachlässigbar, wenn jede richtige Antwort mit +1 Punkt, jede falsche Antwort mit -1 Punkt und jede fehlende Antwort mit 0 Punkten bewertet wird. Die Chance, das Arbeitsergebnis durch Raten zu verbessern, ist damit so groß, wie das Risiko, sich zu verschlechtern. (Diese Form der Bewertung muß freilich den Schülern eingehend erklärt werden, um Mißstimmungen zu vermeiden. Unter anderem wird sie bei den Zertifikatsaufgaben des Deutschen Volkshochschulverbands angewendet.) Neuerdings werden Aufgaben des Typs x aus n meistens vorgezogen. (F Siehe z.B. Kohlstad-Kohlstad, Die Komplexmehrfachwahlaufgabe ist ungeeignet für lernzielorientierte Tests, LU 1984 Heft 3, S. 12 - 16)

Bei den soeben behandelten Beispielen haben wir den Inhalt der Aufgabe - mit den erörterten Einschränkungen bezüglich der zusätzlichen Lösungsstrategien - beibehalten und die Form geändert. Im folgenden wollen wir in einer ausgewählten Aufgabenform die Inhalte verändern und so einen Überblick über die Breite der inhaltlichen Fragestellungen bei Aufgaben dieses Typs - nämlich des Typs x aus n - gewinnen.

Zunächst orientieren wir uns an den anderen Aufgaben der Klassenarbeit, mit der wir auch schon die bisherigen Erfahrungen gesammelt haben.

Der Schüler, dessen Bearbeitung im Anhang 1  abgedruckt ist, hat in Aufgabe 3 (bis auf einen Schreibfehler) nichts Falsches aufgeschrieben. Die Gründe dafür, warum er die Multiplikation mit 1000 nicht ausgeführt hat, können wir aus der Bearbeitung nicht entnehmen. Im Extremfall können wir uns auf den Standpunkt stellen, daß kein Endergebnis aufgeschrieben wurde und die Aufgabe als nicht gelöst bewerten. Beim anderen Extrem unterstellen wir, daß die Multiplikation mit 1000 keine Schwierigkeiten mehr enthält, die Aufgabe also im wesentlichen als gelöst angesehen werden muß. - Die Entscheidung zwischen diesen beiden Extremen fällt auch dann schwer, wenn wir den Schüler so gut kennen, wie dies im Schulalltag möglich ist. (Über das Maß dieser Kenntnis sollten wir nicht zu große Illusionen pflegen.)

Die Unsicherheit in der Bewertung der Aufabe 3 rührt davon her, daß eine ganze Reihe von Voraussetzungen erfüllt sein muß, wenn man die Aufgabe richtig bearbeiten will. Wie wir leicht feststellen können, gilt entsprechendes auch für die Aufgaben 4 und 5 unseres Beispiels. Jede der drei Aufgben ist gelöst, wenn der zugehörige Term berechnet ist.

 Wir entnehmen den Texten
 

Die Schwierigkeiten, den Lösungsterm zu finden, nehmen von Aufgabe 3 zu Aufgabe 5 zu:

In Aufgabe 3 müssen die Bedeutungen von "addiere", "Summe" und "multipliziere" bekannt sein. Die Zahlen gehen in der Reihenfolge, in der sie im Aufgabentext stehen, in die Rechnung ein.

Bei Aufgabe 4 werden die Zahlen ebenfalls in der im Aufgabentext gegebenen Reihenfolge verwendet. Im Gegensatz zu Aufgabe 3 müssen jetzt die Operationen vom Schüler erkannt werden. Dies bereitet bei der Aufgabe jedoch keine großen Schwierigkeiten.

Aufgabe 5 ist dagegen anspruchsvoller. Zwar ist die Zahl der auszuführenden Rechenoperationen gleich groß wie in Aufgabe 4, aber die Reihenfolge der Anwendung auf die Zahlen weicht von der Reihenfolge im Aufgabentext ab. Außerdem kommt eine Division vor. Diese macht auch bei einstelligem Divisor vielen Schülern mehr Mühe als die anderen Operationen.

Wir können die Aufgaben 3 bis 5 als Konkretisierungen des Ziels "Beherrschung der Anwendung der vier Grundrechenarten" betrachten. Die Gemeinsamkeiten werden noch deutlicher, wenn wir offenlegen, mit welchen Entscheidungen wir auf solche Aufgaben geführt werden. Die Aufgaben sind letztlich charakterisiert durch die Zahl der Rechenoperationen, die Art ihrer Aufeinanderfolge, die Größe der beteiligten Operanden und die Art der Einkleidung. Wir treffen daher bei der Auswahl derartiger Aufgaben - bewußt oder unbewußt - die folgenden Entscheidungen:

• Zahl der Operationen (Gleich Zahl der Eingangsvariablen minus 1) 
• Art der Operationen 
• Reihenfolge der Operationen 
• Notwendigkeit von Klammern im Lösungsterm 
• Beschränkung der Eingangsvariablen 
• Art der Einkleidung (Vorgabe des Terms, formale Beschreibung des Terms wie in Aufgabe 3 oder Einbindung in Sachsituationen wie bei den Aufgaben 4 und 5) 
• Zahl der Ausgangsvariablen (Es kann, wie zum Beispiel bei einer Heizkostenverteilung in einem Mehrfamilienhaus, mehr als ein Ergebnis verlangt sein.)

• Erfassen der Sachsituation 
• Ermitteln der Eingangsvariablen, 
• Ermitteln der Operationen und ihrer Abfolge, 
• Ausführen der Einzeloperationen, 
• Deutung der Ergebnisse

Diese Feststellung ist von außerordentlicher Bedeutung. Wenn wir sie akzeptieren, dann besitzen wir ein Verfahren, mit dessen Hilfe wir entscheiden können, ob ein bestimmter Bearbeiter ein Ziel des Mathematikunterrichts erreicht hat oder nicht. Darüber hinaus können wir dieses Ziel durch die Klasse der unter das oben beschriebene Entscheidungsverfahren fallenden Aufgaben konkret beschreiben. Im Unterricht kann gezielt auf die gewünschten Fähigkeiten hingearbeitet werden. Schüler und Eltern können darüber informiert werden, was der Lehrer eigentlich von den Schülern erwartet. Wie bei dieses Teilthema könnten wir ein beliebiges anderes Gebiet des Mathematikunterrichts entsprechend bearbeiten. 

Umgekehrt können nun anhand des konkret durch eine Klasse von Aufgaben beschriebenen Ziels mögliche Bearbeiter als solche charakterisiert werden, die das Ziel erreicht haben, und als solche, die es nicht erreicht haben.

Dadurch, daß die Beherrschung des Ziels durch Teilanforderungen gekennzeichnet ist, fällt uns darüber hinaus die Möglichkeit zu, bei den Bearbeitern, die das Ziel nicht erreicht haben, die Lerndefizite näher einzugrenzen, indem wir die Teilanforderungen ihrerseits wieder durch geeignete Aufgabenklassen repräsentieren. Damit decken wir auch auf, ob sekundäre Faktoren wie Konzentration, Ausdauer oder Sorgfalt gegebenenfalls zum Verfehlen des Ziels beigetragen haben.

Stellvertretend für beliebige Themen überlegen wir am Beispiel der Klassenarbeit aus 1.6, die wir nun schon unter verschiedenen Gesichtspunkten betrachtet haben, wie wir die Teilaspekte des Ziels "Beherrschung der Anwendung der vier Grundrechenarten" zuverlässig überprüfen können. Dabei gehen wir von einem komplexeren Beispiel aus, da erfahrungsgemäß die Vereinfachung solcher Beispiele weniger Probleme aufwirft als die nachträgliche Anreicherung der Problemhaltigkeit. Ich bleibe im Sachbereich der Klassenarbeit. Die Übertragung auf kindnähere Sachbereiche wie Taschengeldverwaltung, Schulfest oder ähnliches ist nicht problematisch.

1.) Erfassen der Sachsituation. Statt der Aufgabe 4 der Klassenarbeit gehen wir von dem folgenden Text aus:
 

In unserem Beispiel sind nur die erste und die letzte Aussage richtig. Die vier übrigen Aussagen verwenden jedoch die Angaben des Textes so, daß sie allesamt plausibel sind. (Es gibt viele Schüler, die sprachliche Unterschiede wie den zwischen "groß" und "größer" überhaupt nicht wahrnehmen (PISA-Thema Lesefähigkeit). Beispiele dafür kennt jeder Lehrer, der im Bereich Schaufgaben sorgfältig arbeitet.) Erst dann, wenn die Sachsituation genau erfaßt ist, wird klar, warum diese Aussagen aus dem Text nicht begründet werden können. Wir sehen zugleich, daß das Erfassen einer Sachsituation aus verbalen Angaben beträchtliche Anforderungen an die Lesefähigkeit stellt. Es wird jedoch dazu zurecht auch ein Beitrag des Fachs Mathematik gefordert.

Oben war die Sachsituation, zu der einzelne Aussagen überprüft werden sollten, verbal beschrieben. Als Alternative würde sich anbieten, die Sachsituation in einem Bild vorzugeben. Die meisten Lehrer werden allerdings nicht in der Lage sein, entsprechende Zeichnungen selbst auszuführen. Es gibt jedoch eine Reihe von Schulbüchern, die entsprechende Bilder enthalten, oder aber Foliensätze, wie zum Beispiel den von Bracht und Pietschner(F Bracht-Pietschner, Sachaufgaben für die Grundschule, Verlag Mildenberger, Offenburg o.J.), aus dem das folgende Bild entnommen ist: 

Zu solchen Bildern lassen sich ebenso leicht entsprechende Fragen zum inhaltlichen Verständnis der Sachsituation formulieren wie zu dem Text vom Viehmarkt.

Unabhängig davon, in welcher Form die Sachsituation vorgegeben wird, können wir durch eine Sammlung von Verständnisfragen feststellen, ob die Sachsituation erfaßt worden ist. (Dies entspricht ja auch dem üblichen Vorgehen im Unterricht bei der Erarbeitung der Lösung von Textaufgaben.) Viel deutlicher als im Unterricht wird sich jedoch dabei erweisen, daß eine Reihe von Schülern nicht die geringste Schwierigkeit beim Erfassen des Sachverhalts haben wird, während andere unabhängig von der Art der Vorgabe der Sitation Probleme beim Erfassen des Sachverhalts haben. Im normalen Klassenunterricht kommt dies nicht so deutlich zum Ausdruck wie in einer Einzelarbeit. Mit einer Fragensammlung wie der oben aufgeführten kann vor einer entsprechenden Lernerfolgskontrolle auch die Übung in der Erarbeitungsphase organisiert werden. Dann erkennt der Lehrer die Kinder, die bei diesem Teilproblem zunächst hängen bleiben, und kann sie in ihrem speziellen Defizit gezielt fördern.

2.) Ermitteln der Eingangsvariablen. Diese Teilfrage steht in engem Zusammenhang mit dem Erfassen der Sachsituation selbst. Wir verwenden deshalb die obige Situationsdarstellung auch hierfür und stellen entsprechende Fragen:

• Welche Angaben brauchst du, um auszurechnen, was Mäckler für den Häcksler bezahlen muß?
• Welche Angaben brauchst du, um auszurechnen, wieviel Mäckler noch zuladen könnte?
• Du willst ausrechnen, wieviele Ferkel Mäckler verkaufen müßte, um mindestens so viel wie für das Rind zu erlösen? Welche Angaben brauchst du dazu?
• Du willst ausrechnen, wieviele Rinder Mäckler höchstens laden kann. Welche Angaben brauchst du dazu?

Während für die Überprüfung des Erfassens der Situation eine Aufgabe in Auswahlantwortform angemessen war, bietet sich, wie unsere Beispiele zeigen, für die Ermittlung der Eingangsvariablen die gebundene Freiantwort an.

Wieder müssen wir damit rechnen, daß die Ermittlung der für die Lösung der Aufgabe benötigten Eingangsvariablen einigen Kindern mühelos gelingt, während wir bei anderen sogar zuerst Verständnis dafür wecken müssen, daß diese isolierte Fragestellung eine wichtige Teilfähigkeit beim Lösen von Sachaufgaben darstellt. Insbesondere handelt es sich bei diesem Aspekt um ein unverzichtbares Glied in der Kette der didaktischen Einzelüberlegungen, mit denen die Fähigkeit zum Lösen von Sachaufgaben einer größeren Zahl von Kindern vermittelt werden kann. 

3.) Ermitteln der Operationen und ihrer Abfolge. Mit diesem Teilschritt begegnen wir einem zusätzlichen Problem. Es gibt verschiedene Möglichkeiten, die Reihenfolge der Operationen und ihre Abfolge darzustellen. Diese Formen der Notation werden durch Klassenstufe und Leistungsfähigkeit der Schüler bestimmt.

Das Endziel für die Notation ist aus mathematischer Sicht die Form des Terms. Der Zahlenwert des Ergebnisses wird als Kette von Zahlen (später auch Variablen), Rechenzeichen und Klammern geschrieben.

 Vielfach werden jedoch für längere Zeit andere Notationsformen verwendet, die zum Teil nicht einmal den Rechengang erkennen lassen. Zu diesen gehört die Simplexdarstellung in der ursprünglich von Breidenbach eingeführten Form. Bei dieser werden drei voneinander abhängige Größen in drei Felder eines Kastens eingetragen. Die Art der Rechnung ist aus der Darstellung nicht zu erkennen, wie das Beispiel zeigt:
 

 
Winter propagiert die Präzisierung der Simplexdarstellung zum Rechenbaum. In diesem ist nicht nur die Operation zu erkennen, sondern es fällt auch die Beschränkung auf zwei Eingangsvariable und eine Ausgangsvariable weg, so daß die Erweiterung zum Komplex, das heißt der Verbindung mehrerer Simplexe, ohne Schwierigkeiten möglich ist. 

Der Rechenbaum ist weitgehend äquivalent zur Termschreibweise. Die Übersetzung eines Rechenbaums in einen Term ist eindeutig, wenn vereinbart wird, in der Zeile der Eingangsvariablen von links nach rechts fortzuschreiten. Wegen der "Punkt-vor-Strich-Regel" müssen bei dieser Übersetzung nur dann Klammern gesetzt werden, wenn das Ergebnis einer Addition oder Subtraktion multiplikativ weiterverwendet wird. In der Baumdarstellung erscheinen die Rechenoperationen gleichartig.

Neben der Baumdarstellung wird gelegentlich eine weitere grafische Darstellung verwendet, nämlich das Operatorbild. Dieses erleichtert dem Schüler die Auffassung bei zwei Eingangsvariablen und einer Ausgangsvariablen, wenn der Begriff Gegenoperator verfügbar ist. Die Bestimmung der Rechenoperation ist für viele Schüler damit einfacher. Dagegen zeigen sich die Nachteile des Operatorbildes beim Versuch, einen Term als Operatorbild zu zeichnen, bei dem Summanden ihrerseits Produkte sind:

Die Tatsache, daß zur Darstellung der Abfolge der Rechenoperationen bei einer Sachaufgabe verschiedene Notationsformen nebeneinander gebraucht werden, ist Anlaß zu einer Unterscheidung in methodenrelevante und ergebnisrelevante Ziele. (F  Das umfassende Ziel "Beherrschung der Anwendung der vier Grundrechenarten" ist ebenso wie das Teilziel "Ausführung der Rechenoperationen" ergebnisrelevant. Ein Beispiel für ein methodenrelevantes Ziel ist die Form der Darstellung, die für die Abfolge der Rechenoperationen gewählt wird. Auch die "Ausführung der Rechenoperationen" wird dann zum methodenrelevanten Ziel, wenn bei der Überprüfung des Ziels auf die Art der Ausführung - zum Beispiel Kopfrechnen, schriftliche Standardverfahren, Rechenschieber, Taschenrechner - Bezug genommen wird.

Allgemein verstehen wir unter einem ergebnisrelevanten Ziel (in der Terminologie der Zertifikate des Deutschen Volkshochschulverbands wird statt ergebnisrelevant der Begriff "prüfungsrelevant" benützt) ein solches, bei dem für alle das Ziel repräsentierenden Aufgaben Konsens über die Lösung besteht, während über die Lösungsverfahren keine Aussage gemacht wird. Ein ergebnisrelevantes Ziel entsteht also durch Konvention. Dies bedeutet, daß jedes methodenrelevante Ziel zu einem ergebnisrelevanten Ziel gemacht werden kann. Festlegungen über ergebnisrelevante Ziele schränken daher die Methodenfreiheit für Lehrende und Lernende ein.)

Eine Untersuchung des mathematischen Schulstoffs daraufhin, welche Ziele sinnvollerweise zu ergebnisrelevanten Zielen erklärt werden sollten, steht noch aus. Sie könnte eine erhebliche inhaltliche Entlastung bringen. Ein Beispiel dafür: In den Lehrplänen der Gymnasien stehen nebeneinander Dreisatz, Proportionalität, Quotientengleichheit, Verhältnisgleichungen, Proportionenlehre und andere Einkleidungen. Jedes Mal handelt es sich um das Ziel 
 

über das man in der zuletzt genannten Form insbesondere im Hinblick auf die Abnehmer "mathematischer Bildung" sicher zu einem Konsens kommen könnte. Dabei könnte man es dem einzelnen Lehrer überlassen, in welchem Umfang er einen Teil der historisch zu erklärenden Verschiedenheit der Einkleidungen methodisch fruchtbar macht oder zu einer Verankerung mathematischen Einzelwissens in den gesellschaftlichen Kontext benützt. (Weitere Beispiele für Ballast im Schulstoff sind "Bruchrechnung" und die Menge der rationalen Zahlen, Figurenlehre und Abbildungsgeometrie, die Rolle der Rechenhilfsmittel und anderes.)

Da es sich bei den Notationsformen für Terme um methodenrelevante Ziele handelt, fällt die Überprüfung des Teilziels "Ermittlung der Operationen und ihrer Abfolge" je nach der gewählten Notation unterschiedlich aus, wenn damit diagnostische Absichten verbunden werden. In jedem Fall geht es aber um die Zuordnung zwischen Sachsituationen und Termen in der gewählten Darstellung. Da der Platzbedarf für die Darstellung einer Sachsituation in der Regel beträchtlich ist, bieten sich wieder Auswahlantwortaufgaben an. Beispielsweise kann man zu dem unter (1) aufgeführten Text fragen:
 

Ein Teil der Alternativen gibt unterschiedliche Denkwege wieder. Von den beiden falschen Alternativen ist nur die Nummer 5 leicht als Denkfehler zu identifizieren.

Entsprechende Auswahlantwortaufgaben mit Termen in Baumdarstellung sind leicht zu konstruieren.Es macht daher keine Mühe, das Teilziel "Ermitteln der Operationen und ihrer Abfolge" unabhängig von den anderen Teilzielen zu überprüfen.

4.) Ausführen der Einzeloperationen. Die Überprüfung dieses Teilziels bereitet die geringsten Schwierigkeiten, da die Berechnung von Termen als Aufgabenstellung in Klassenarbeiten allgemein üblich ist. Auch dürfte die übliche Form der Aufgabenstellung
 

zugleich die optimale Aufgabenform für die Überprüfung des Teilziels sein.

5.) Deutung des Ergebnisses. Das Bewußtsein dafür, daß die richtige Formulierung des Ergebnisses mit zur vollständigen Bearbeitung einer Sachaufgabe gehört, ist nach meinen Erfahrungen mit der Korrektur der im vorigen Abschnitt erörterten Schülerbearbeitung unseres Klassenarbeitsbeispiels weniger verbreitet als man eigentlich erwarten sollte. Die Schülerantwort auf Aufgabe 4 (Er muß noch bezahlen ...) läßt vermuten, daß dieser Schüler keine volle Klarheit über die Sachsituation gewonnen hat. Trotzdem wurde dieses Ergebnis nur von ganz wenigen Teilnehmern an dem Bewertungs- und Korrekturversuch des vorhergehenden Abschnitts beanstandet.

Zur Überprüfung eignet sich wieder die Auswahlantwortaufgabe. Wir bleiben beim Beispiel:
 

Nur ein Teil der Kinder findet die beiden richtigen Antworten heraus. Manche Kinder kreuzen die vier richtigen Aussagen an, erfassen also nicht, daß in der Sachsituation nur nach dem Preis der Maschine gefragt war. Bei anderen Kindern kann man nur im anschließenden Gespräch feststellen, was sie sich bei ihren falschen Antworten gedacht haben. - Übrigens eine Frage an den Lehrer: Sprechen Sie mit den Kindern über ihre Fehler? - und die entsprechende Frage an die Eltern: Erklärt der Lehrer Ihrem Kind, was es nicht richtig gemacht hat?

Die Aufgabe weist je nach Zielsetzung noch eine Schwäche auf. Es wird nicht nur nach der Deutung des Ergebnisses gefragt, sondern auch nach dem Ergebnis selbst. Wenn man das letztere ausschließen will, kann man die Aufgabe so formulieren:

Einige Kinder haben den Ergebnissatz schon geschrieben und für die Zahlen eine Lücke gelassen. Wo kann das Ergebnis noch richtig werden? Dann können dieselben Sätze jeweils mit Lücke statt der Zahl vorgegeben werden. Damit läßt sich auch die Frage nach der Deutung der Ergebnisse als isolierte Teilfähigkeit überprüfen. 

 Wir waren im letzten Abschnitt von einer Klassenarbeit ausgegangen, wie sie landauf-landab jedes Jahr viele Male den Schülern vorgelegt wird. Unsere Untersuchungen haben uns vor Augen geführt, daß in dieser Klassenabeit zwei Hauptziele abgeprüft werden:

- Übersetzung von der römischen in die dezimale Zahlschreibweise und umgekehrt 
- Beherrschung der Anwendung der vier Grundrechenarten.

Diese beiden Hauptziele weisen unterschiedliche Komplexität auf. Das erste Ziel besteht durch die Beschränkung auf Zahlen zwischen 1 und 2 000 aus endlichen vielen Paaren, bei denen zu einem gegebenen Partner der zugehörige gesucht werden soll. Als eine günstige Form zur Überprüfung des Ziels hatten wir die Lückenaufgabe in Tabellenform gefunden. Das zweite Ziel ist wesentlich komplexer. Diese Komplexität erlaubte die Isolierung verschiedenartiger Teilziele. Die getrennte Überprüfung solcher Teilziele ist zweckmäßig, weil nur so Aufschluß darüber zu gewinnen ist, wo der nicht erfolgreiche Schüler besonders gefördert werden muß. Für die Teilziele haben wir gleichfalls passende Aufgabenformen gefunden, die eine rache Diagnostik erlauben.

Wir können die gewonnenen Erkenntnisse benützen und aus den soeben entwickelten Aufgaben eine Klassenarbeit zusammenstellen, die inhaltlich dieselben Anforderungen aufweist wie unser Beispiel. 

Die neue Klassenarbeit weist gegenüber der ursprünglichen Fassung eine Reihe von Vorzügen auf:

Für den Schüler ist die Arbeit übersichtlicher:

• Die Bearbeitung der Aufgaben auf dem Aufgabenblatt selbst trägt dazu bei, Übertragungsfehler zu vermeiden. 
• Der Schüler übersieht auf einen Blick, ob er alle Aufgaben bearbeitet hat; deshalb vergißt er nicht so leicht einzelne Aufgaben. 
• Die Anforderungen an den Schüler sind durchsichtiger. Auf diese Weise versteht der Schüler anschließend auch die Korrektur des Lehrers besser. 
• Wenn die mit den Einzelaufgaben erreichbaren Punktzahlen vor der Bearbeitung mitgeteilt werden, kann der Schüler seine Anstrengungen entsprechend dem Gewicht der Aufgaben verteilen.

Auch für Eltern gibt es Vorteile:
 

• Sie erkennen sofort, was von ihrem Kind verlangt wird.
• Sie verstehen die Korrektur.
• Sie können sich gegebenenfalls die Lücken ihrer Kinder besser erklären lassen.

Für den Lehrer sind drei Gesichtspunkte bedeutsam:
 

• Die Arbeit verschafft ihm eine diagnostische Übersicht über die Leistungsfähigkeit jedes einzelnen Kindes. Er kann die Sicherheit in den Teilzielen gleich bei der Korrektur mit erfassen, so daß er im Anschluß ohne großen Aufwand differenzierte therapeutische Maßnahmen ergreifen kann.
• Der Aufwand für die Korrektur der Klassenarbeit ist wesentlich geringer. Auf der einen Seite entfallen Suchzeiten. (Wußten Sie, daß ein Lehrer, der Klassenarbeiten in Hefte schreiben läßt, im Lauf seines Lehrerdaseins drei bis vier volle Arbeitswochen allein auf das Blättern bei der Suche nach der aktuellen Schülerarbeit verbringt?) Dabei geht es weniger um den Aufwand, die richtige Seite im Heft zu finden, als vor allem darum, den Vergleich zwischen Schülerlösung und richtigem Ergebnis stets an der gleichen Stelle des Blatts vornehmen zu können. Die Zeitersparnis dabei ist beträchtlich, und die Anstrengung bei der Korrektur wird zusätzlich vermindert. Bei vielen Lehrern, die von der Klassenarbeit im Heft auf ein wie in unserem Beispiel vorstrukturiertes Klassenarbeitsblatt umgestellt haben, ist die Korrekturzeit auf ein Fünftel oder noch weniger zurückgegangen. Dabei hat sich die Zuverlässigkeit der Korrektur erhöht.
• Wenn die Klassenarbeit nach Teilzielen des Unterrichts gegliedert ist, erhält das Ergebnis der Arbeit noch eine weitere, wichtige Funktion. Nicht nur die Schüler erhalten mit der Klassenarbeit eine Rückmeldung über ihre momentane Leistung, sondern auch der Lehrer erhält eine Rückmeldung: Er erfährt, bei welchen Teilzielen seines Unterrichts er erfolgreich war, und bei welchen die unterrichtliche Arbeit nicht zum erwünschten Ziel geführt hat. Gute oder schlechte Schülerleistungen hängen nur zum Teil von den Voraussetzungen der Schüler und von den Anforderungen ab; einen erheblichen Einfluß hat darauf die Arbeit des Lehrers im Hinblick auf die Anforderungen. In diesem Zusammenhang soll nochmals betont werden, daß nicht von Noten sondern von Schülerleistungen in Bezug auf konkret formulierte, inhaltliche Ziele gesprochen wurde.

Für den Lehrer bringt die Umstellung auf vorstrukturierte, zielorientierte Klassenarbeiten auch Nachteile mit sich:
 

• Die Zusammenstellung der Klassenarbeit erfordert mehr Zeit. Bequemer ist es, in der Pause ein paar Aufgaben aus dem Buch auszusuchen und sie den Schülern zu diktieren. Die eingesparte Zeit muß dann allerdings bei der Korrektur investiert werden.)
• Als nachteilig kann auch angesehen werden, daß bei der Verwendung von zielorientierten Arbeiten die unterrichtliche Leistung des Lehrers deutlicher wird als  bei der herkömmlichen Klassenarbeit, bei der die Manipulationsmöglichkeiten des Lehrers einen weiten Spielraum für die Selbstbewertung des eigenen "Erfolgs" lassen.

Die letzten beiden Abschnitte waren pragmatisch angelegt. Im folgenden Abschnitt will ich kurz über theoretische Aspekte unseres Themas berichten. Wer sich dafür nicht interessiert, kann diesen Abschnitt getrost überschlagen oder nur den Schlußsatz lesen.
 

Im letzten Abschnitt haben wir uns mit einem Grundproblem des Unterrichts, dem Messen mathematischer Schulleistungen, praktisch beschäftigt. Bei einer allgemeineren Betrachtung ging es darum, die Beziehungen zwischen den ausgewählten Aufgaben und den Lösungsversuchen der Bearbeiter so durch natürliche Zahlen darzustellen, daß diese Zahlen möglichst zutreffend über die mathematische Leistung Aufschluß geben.

Unser praktischer Versuch hat Unbehagen hinterlassen, weil dabei vielfältige Manipulationsmöglichkeiten sichtbar geworden sind jede der willkürlichen Entscheidungen eröffnete eine Manipulationsmöglichkeit. Um diesem Unbehagen zu entgehen, sind eine Reihe von Vorschlägen entwickelt worden.

Solche Verfahren, mit denen man das Lösungsverhalten verschiedener Bearbeiter gegebenen Aufgabenstellungen gegenüber durch Zahlenangaben charakterisieren kann, heißen Meßmodelle. Ein Meßmodell ist umso besser, je genauer es die Fähigkeiten der verschiedenen Bearbeiter in Bezug auf die Aufgabenstellung gegeneinander abgrenzt. Wenn das Meßverfahren zudem noch Vorausagen über künftige Leistungsäußerungen liefern kann, so sind damit auch die Wünsche potentieller Abnehmer der Ergebnisse des Mathematikunterrichts erfüllt.

Eines der interessantesten Meßmodelle unter diesen Gesichtspunkten ist  das Rasch-Modell. Es hat eine Geschichte:

Vor mehr als fünfzig Jahren hat sich der Mathematiker Zermelo (F Zermelo, Die Berechnung der Turnierergebnisse als ein Maximumproblem der Wahrscheinlichkeitsrechnung, MZ 29 1929, S. 436 -466) mit der Bestimmung der Spielstärke bei Schachturnieren befaßt. Wenn sich die Spielstärken von zwei Schachpartnern als Zahlenwerte angeben lassen, so erwarten wir, daß der Partner mit der größeren Spielstärke überlegen ist in dem Sinn, daß er bei einer größeren Zahl von Partien umso mehr davon gewinnt, je größer der Unterschied zwischen den Spielstärken ist. Zermelo hat nun die Spielstärken als Gewinnwahrscheinlichkeiten für die einzelnen Partien definiert und ein Verfahren zur Berechnung dieser Gewinnwahrscheinlichkeiten angegeben. Bei diesem Ansatz wird das Turnierergebnis zum Erwartungswert. Zermelo hat solche Spielstärken aus abgeschlossenen Turnieren berechnet und mit den berechneten Werten die Spielergebnisse bei neuen Turnieren zutreffend voraussagen können.

Rasch (F Rasch, Probabilistic modells for some intelligence and attainment tests, Verlag Nielson a. Lydiche, Kopenhagen  1960) hat den Ansatz von Zermelo auf den Bereich psychologischer Tests übertragen. Als Rasch-Modell spielte der Ansatz dann längere Zeit eine Rolle bei der theoretischen Fundierung des Zertifikatssystems des Deutschen Volkshochschulverbandes. Fricke (F Fricke, Über Meßmodelle in der Schulleistungsdiagnostik, Schwann, Düsseldorf 1972) hat sich um die Anwendung im Bereich der Schulleistungsmessung bemüht.

Ein Meßmodell, das die Voraussetzungen des Rasch-Modells erfüllt, besitzt hervorragende Eigenschaften. Seine Anwendung führt einerseits auf Parameter, die die Aufgaben des Aufgabenvorrats charakterisieren, andererseits auf Parameter zur Kennzeichnung der Bearbeiter. Entsprechend der Zermeloschen Turniervorhersage könnten mit diesen Parametern die Bearbeitungsergebnisse beliebiger Aufgaben des Vorrats durch beliebige Probanden zutreffend vorhergesagt werden. Im einzelnen würde das Rasch-Modell (Siehe Fricke 1972) die folgenden Eigenschaften aufweisen:

- Die Fähigkeit des Bearbeiters wird ausschließlich durch die Zahl der von ihm gelösten Aufgaben bereits eindeutig bestimmt (Summenwert als erschöpfende Statistik).
- Die Meßwerte sind additiv. Das heißt, daß zum Beispiel die Bildung von Mittelwerten durch das Modell gedeckt ist.
- Die Gültigkeit des Modells ist empirisch überprüfbar.

Solche schönen Eigenschaften sind an Voraussetzungen gebunden:

- Die Aufgaben des Vorrats müssen homogen sein in dem Sinn, daß die Fähigkeit zur Lösung der Aufgaben isoliert werden kann, daß also nicht verschiedene Fähigkeiten zugleich vorliegen dürfen.
- Die "spezifische Objektivität" muß gegeben sein. Das bedeutet, daß die berechneten Parameter unabhängig von der ausgewählten Teilmenge der Aufgaben und unabhängig von der Auswahl einer Teilmenge der Bearbeiter sein müssen.

Wir vergleichen diese Einschränkungen mit dem Ausgangspunkt von Zermelo: Zermelo beschränkt sich auf die Fähigkeit für das Schachspiel. Wenn wir das Turnier so abändern, daß nur noch ein Teil der Partien mit Schach ausgetragen wird, andere mit Mühle, mit Go, mit Wolf-und-Schaf oder sogar mit Mensch-ärgere-Dich-nicht, so lassen sich formal immer noch "Spielstärken" berechnen. Diese sind sogar noch vernünftig, wenn jeder Teilnehmer gleich gut auf jede Spielart vorbereitet ist und sein Glück beim zuletzt geannnten Spiel exakt seiner Spielstärke in den übrigen Spielen entspricht! In der Regel wird man davon indessen nicht ausgehen dürfen.

Im Schulunterricht sind die Voraussetzungen für die Gültigkeit des Rasch-Modells noch einschränkender. Fricke (F a.a.O. S. 93 bis 95) hat sich, um die Raschskalierbarkeit seines Aufgabenvorrats zu erzeugen, so geholfen, daß er im Sinne der klassischen Aufgabenanalyse einfach diejenigen Aufgaben ausgeschieden hat, die die Raschskalierbarkeit gestört haben. Fachdidaktisch wäre dies nicht von Bedeutung, wenn es sich um Aufgaben handeln würde, die durch ihre Formulierung zu Mißverständnissen Anlaß geben. Leider war dies nicht der Fall. Unter anderem mußte die Aufgabe 9*0 eliminiert werden. Dies ist fachdidaktisch in keiner Weise vertretbar. Auf die Beherrschung der Multiplikation mit Null kann nicht verzichtet werden. Dieses Beispiel allein genügt, um Messungen auf der Grundlage des Rasch-Modells den Boden zu entziehen. Es ist deshalb erstaunlich, wie viele Autoren und Wissenschaftler sich trotzdem mit dem Raschmodell beschäftigen.

Wir nehmen Frickes Mißerfolg bei der Anwendung des Rasch-Modells als Anlaß für eine grundsätzliche Betrachtung:

Der Mißerfolg von Fricke war vom fachdidaktischen Standpunkt aus vorauszusehen. Ehe ich dies darlege, will ich noch kurz ein zweites Meßmodell skizzieren, das in der Schulpraxis verbreitet Anwendung findet und auch zum Teil von Fachdidaktikern empfohlen wird (F z.B. Firges-Gässler, Prüfungstest im Fach Französisch beim Abschluß an Realschulen in Praxis des neusprachlichen Unterrichts Heft 1977, S. 171-185): Die Normalverteilungshypothese als Grundlage der Notengebung.

Die Normalverteilung, auch Gaußsche Verteilung genannt, ist eine in der Statistik häufig angewendete Zufallsverteilung. Wenn eine Normalverteilung vorausgesetzt werden darf, lassen sich Auswertung und Beschreibung der Verteilung rechnerisch einfach vornehmen. Wenn man davon ausgeht, daß die Häufigkeiten der verschiedenen Notenstufen innerhalb einer Klasse normal verteilt sind, so bedeutet dies die folgende prozentuale Verteilung der Noten:

über2    2     2.5   3     3.5   4    4.5   5  unter 5 
5%       6%   12%   17%   20%   17%  12%    6%   5%

Diese Verteilung deckt sich mit der Erfahrung, daß in einer Klasse in der Regel wenige sehr gute Schüler zu finden sind, ein breites Mittelfeld vorhanden ist und schließlich nur wenige Schüler sehr schwach sind. Wenn man dies bei jedem Thema als gegeben hinnimmt und gesellschaftlich akzeptiert, dann ist tatsächlich die Normalverteilungshypothese als Grundlage der Notengebung brauchbar. In Wirklichkeit gibt man damit jedoch den Anspruch der individuellen Förderung auf und verzichtet als Lehrer darauf, allen Kindern definierte Ziele zu vermitteln.

Bei den Praktikern sind Tabellen im Umlauf, die die Umrechnung von Punktzahlen in Noten nach der Normalverteilungshypothese gestatten.

Die Normalverteilungshypothese trifft zu, wenn das Lösungsverhalten der Schüler als (additives) Zusammenwirken zahlreicher Zufallsfaktoren erklärt wird. Davon kann man ausgehen, wenn bei der Auswahl der Aufgaben entsprechend vorgegangen wird. Im Hintergrund steht hier eine Vorstellung, die im Verfahren der Aufgabenselektion für psychometrische Tests wurzelt. Dort ist es Ziel der Aufgabenanalyse (F siehe dazu z.B Lienert, Testaufbau und Testanalyse, Beltz, Weinheim 3. Aufl. 1969), nur solche Aufgaben in den Test aufzunehmen, die eine "mittlere Schwierigkeit" besitzen. Diese Schwierigkeit wird empirisch definiert als Verhältnis richtiger Bearbeitungen einer Aufgabe zur Zahl der Aufgaben insgesamt. Wesentlich ist dabei, daß die so errechnete Schwierigkeit als Konstante angesehen werden kann. (Auch beim Rasch-Modell geht man von der Existenz eines konstanten, aufgabentypischen Schwierigkeitsparameters aus.)

Die Forderung, daß jede Aufgabe durch einen konstanten Schwierigkeitsparamer gekennzeichnet werden kann, ist in Verbindung mit Lernprozessen absurd und es ist erstaunlich, daß dies zwar gelegentlich in Verbindung bei der Interpretation von Testergebnissen bei mathematischen Schultests Erwähnung findet (F z.B. Fricke a.a.O. 1972, S. 95), aber nicht zu einer grundsätzlichen Besinnung über den theoretischen Ansatz führt.

Wir wollen dies mit einem Gedankenversuch nachholen und betrachten das folgende Ziel:

Zu einer beliebigen Zahl n zwischen 4 und  12 soll ikonisch  eine geeignete Repräsentation angegeben werden. 

Normalerweise ist dieses Ziel Unterrichtsgegenstand im ersten Schuljahr. Für unsere Überlegungen ist es jedoch zweckmäßig, nacheinander verschiedene Adressatengruppen zu betrachten.

Als erstes sollen 25 Tischrechner dieses Ziel erreichen. Als Verständigungsbasis benützen wir die Programmiersprache BASIC. Mit

10 REM Kardinale Repräsentation zu vorgegebenem N 
20 INPUT N: GOTO 10

Das Bild ändert sich, wenn entsprechend zum Kommentar in Schritt 10 eine für den Rechner logisch verarbeitbare Anweisung beigefügt wird:

10 REM Kardinale Repräsentation zu vorgegebenem n
20 INPUT N 
30 FOR I = 1 TO N 
40 POKE 32890 + I, 42:  REM Rechnerspezifische Anweisung für Ausführung) 
50 NEXT I 
60 GOTO20

Natürlich besteht ein Unterschied zwischen der Programmierung von Tischrechnern und der Unterrichtung von Kindern. Wir können uns jedoch Situationen vorstellen, in denen analoge Ergebnisse zu erwarten sind. Wir ersetzen in unserem Gedankenversuch die Tischrechner durch Gastarbeiterkinder im Alter von 7 bis 9 Jahren, die eine Vorbereitungsklasse besuchen und noch kein Deutsch verstehen. Wenn am ersten Tag Aufgaben der beschriebenen Art gestellt werden und dabei auf mimische Vermittlungshilfen verzichtet wird, so erhalten wir zweifelsfrei wieder keine richtigen Lösungen. Stellen wir dagegen die Aufgaben in der Muttersprache der Kinder und setzen wir voraus, daß diese bereits in ihrer Heimat einen sicheren Zahlbegriff erworben haben, so lösen die Kinder vermutlich alle Aufgaben richtig. Unter Umständen treten einige wenige Fehler infolge von Mißverständnissen auf. 

Nun mag man einwenden, daß das Ergebnis nicht durch inhaltliche Probleme zustandekomme, sondern auschließlich durch Probleme der sprachlichen Verständigung. Dieser Einwand ist indessen nicht stichhaltig, denn die sprachliche Verständigung ist daran gebunden, daß die Lautäußerungen oder Schreibfiguren begrifflich gedeutet werden können. Statt der ausländischen Kinder mit Sprachschwierigkeiten hätten wir ebensogut drei- bis vierjährige deutsche Kinder aus anregungsarmer Umgebung nehmen können und mit diesen ebenfalls keine richtigen Antworten erhalten. Andererseits braucht nicht belegt zu werden, daß Kinder ab der zweiten Grundschulklasse stets richtige Antworten liefern werden.

Wenn das Beispiel typisch ist, so ist es von grundsätzlicher Bedeutung im Hinblick auf die Verwendung der erwähnten Meßmodelle in einem Unterricht, der an konkreten inhaltlichen Zielen orientiert ist. Wir halten nochmals fest:

- In Abhängigkeit von der Adressatengruppe schwankt der Schwierigkeitsindex innerhalb des ganzen Intervalls möglicher Werte. Er kann auch die extremen Werte annehmen.
- Der Schwierigkeitsindex ein und derselben Adressatengruppe hängt von der Zeit ab. Er kann sogar für eine bestimmte Adressatengruppe innerhalb einer kurzen Zeitspanne die verschiedenen extremen Werte annehmen, das heißt, die Lösungswahrscheinlichkeit kann  von fast 0 zu Beginn des ersten Schuljahrs auf fast 1 (Schwierigkeitsindex 100) am Ende des ersten Schuljahrs zunehmen. Kinder, die am Ende des ersten Schuljahrs die Aufgabe

(mit einer Zahl n zwischen 4 und 12 einschließlich) nicht sicher lösen können, haben ein unverzichtbares Ziel des Mathenmatikunterricht des ersten Schuljahrs nicht erreicht. Jeder normale Erwachsene beherrscht dieses Ziel. Wenn wir einem Erwachsenen eine Aufgabe aus dem Vorrat dieser neun Aufgaben stellen, so können wir davon ausgehen, daß die angegebene Zahl von Gegenständen ausgewählt wird. 

Falls wir vorher auf die Bedeutung der richtigen Lösung hingewiesen haben und diese unserer erwachsenen Versuchsperson einsichtig geworden ist, wird sie solange Kontrollstrategien anwenden, bis sie von der richtigen Lösung absolut überzeugt ist. Das Ergebnis wird also hundertprozentig sicher sein. Niemand wird sagen, eine derartige Sicherheit sei unmenschlich und der Mensch sei kein Conmputer. Niemand wird davon ausgehen, daß nur eine Minderheit von Menschen dieses Ziel erreichen wird, die große Zahl dieses Ziel "durchschnittlich" beherrsche - wobei auch nicht klar wäre, was mit durchschnittlicher Beherrschung gemeint ist - während ein paar bedauernswerte Menschen das Ziel nur ungenügend erreichen.

Wenn wir nun einräumen müssen, daß es im Mathematikunterricht Ziele gibt, die ohne Einschränkung erreicht werden können, so schließt sich gleich die Frage an, ob es sich beim Legen von n Plättchen um einen Sonderfall handelt, oder ob es im Mathematikunterricht noch mehr Ziele dieser Art gibt, ja sogar, ob nicht die größere Zahl der Ziele des Mathematikunterrichts in dieser Weise erarbeitet werden kann.

Wir untersuchen einige Beispiele. Bei diesen Beispielen können wir allerdings nicht mehr erwarten, daß jeder Erwachsene die zu erörternden Ziele erreicht hat. Die Gründe dafür können aber ebensogut bei den Lernerfahrungen der betrachteten Person wie bei den Zielen liegen und die These, daß die Lernerfahrungen überwiegen, ist bis zur empirischen Widerlegung der These nicht weniger wahrscheinlich als Lernmodelle mit Normalverteilungshypothese oder ähnlichen Hintergrundvorstellungen.

Beispiel 1: Einmaleins. 

Die Lehrpläne erwarten bei uns die Beherrschung der 121 Einmaleinsätzchen bis zum Ende des 3. Schuljahres. Bekanntlich können die schriftliche Multiplikation und Division ohne die sichere Beherrschung des Einmaleins nicht erfolgreich gelernt werden.

Zur Beherrschung des Einmaleins liegt empirisches Material vor. Unter anderem liefern die Normzeitübungen des Instituts für Film und Bild (Tonband 202079) zugleich ein Meßinstrument zur Überprüfung des Ziels. Aus dem vorliegenden Material wird deutlich, daß in den untersuchten Klassen nur ein Teil der Schüler das Einmaleins so gut beherrscht, daß er in den vorgegebenen Zeiten die 36 ausgewählten Einmaleinsaufgaben fehlerfrei lösen kann. Interesssant ist jedoch, daß der Prozentsatz der alle Aufgaben richtig lösenden Schüler von Klasse zu Klasse stark schwankt. Dies könnte mit unterschiedlichen Fähigkeiten der Schüler erklärt werden, es ist aber weitaus wahrscheinlicher, daß es an der Intensität der Erarbeitung und Sicherung in den vorausgegangenen Jahren liegt. Tatsache ist, daß ein Teil der Schüler ab Klasse 5 und ein Teil der Erwachsenen keine Probleme mit dem Einmaleins hat.

Im Zusammenhang mit unserem Beispiel mag noch interessieren, daß die mittlere Geschwindigkeit, mit der eine bestimmte Einmaleinsaufgabe gelöst wird, nicht konstant ist, sondern erheblichen Schwankungen unterliegt. Dabei vergehen von der Aufgabenstellung bis zur Antwort bei Kindern der zweiten Klasse zwischen fünf und zehn Sekunden. Diese Zeit nimmt immer mehr ab. Bei Erwachsenen liegt sie noch zwischen 1 und zwei Sekunden mit starken Schwankungen auch bei einundderselben Aufgabe, wenn diese mehrfach gestellt wird. (Die Angaben dieses Abschnitts sind Zwischenergebnisse einer Untersuchung an der Pädagogischen Hochschule Ludwigsburg, wo wir zufällig -mit einem Programm für einen Tischrechner - Aufgaben stellen und dabei für jede einzelne Aufgabe die Lösungszeit mit dem Programm erfassen. Die bisherige Basis liegt bei etwas über 4000 Aufgaben.)

Wir halten fest: Die praktisch fehlerfreie Beherrschung des Einmaleins ist ein erreichbares Ziel.

Beispiel 2: Die schriftlichen Rechenverfahren. 

Ich will mich hier kürzer fassen. Die Zahl der Schüler, die die schriftlichen Rechenverfahren fehlerfrei beherrrschen, ist mit Sicherheit kleiner als die Zahl derer, die das Einmaleins beherrschen. Zur Rechensicherheit gehören jetzt in vermehrtem Umfang Kontrollstrategien, mit denen die Nachlässigkeitsfehler, die beim Erwachsenen mit rund einem Fehler bei hundert Teilschritten angesetzt werden, eliminiert werden (z.B. Neunerproben in den Zeilen und beim Ergebnis). Mit der Einschränkung, daß das Ergebnis bei umfangreicheren Rechnungen nicht in einem Durchlauf richtig werden muß, sondern daß nur die selbständige Aufdeckung der Rechenfehler gefordert wird, ist auch das Ziel "fehlerfreie Beherrschung der schriftlichen Rechenverfahren" erreichbar, wenn man die Operanden geeignet begrenzt.

Beispiel 3: 

Bruchrechnung. Hierfür liegt wieder empirisches Material des Instituts für Film und Bild vor. In den Begleitheften zu den Normzeitübungen für das Bruchrechnen ist unter anderem angegeben, welcher Prozentsatz der Schüler in der vorgegebenen Zeit alle gestellten Aufgaben fehlerfrei löst. Wieder kann dabei ein erheblicher Einfluß der Klasse festgestellt werden. Zum Beispiel haben in einer bestimmten Klasse 44% der Schüler die zwölf Aufgaben der Übung BD 3 (F TB 202078 des FWU) fehlerfrei bearbeitet, in einer anderen am Versuch beteiligten Klasse dagegen kein einziger.)

Im Gegensatz zu den Beispielen 1 und 2 handelt es sich bei Beispiel 3 nicht um einen endlichen Aufgabenvorrat. Durch Eingrenzung der Zahl der in einer Aufgabe vorkommenden Operationen und Schranken für die auftretenden Zähler und Nenner kann zwar ein endlicher Aufgabenvorrat erzeugt werden. Die Zahl der Aufgaben in diesem Vorrat ist dann jedoch immmer noch so groß, daß eine Stichprobe nur einen sehr kleinen Teil der zum Vorrat gehörenden Aufgaben erfassen kann. Trotzdem können wir wie auch bei den beiden ersten Beispielen davon ausgehen, daß es einer hinreichend großen Zahl von Menschen gelingt, das Ziel "Beherrschung des Bruchrechnens" in der Weise zu erreichen, daß nach selbständiger Anwendung von Rechenkontrollen eine beliebige Teilauswahl aus einem wie oben beschrieben eingegrenzten Aufgabenvorrat ohne Fehler bearbeitet wird. Auch hier kann also die Beherrschung des Ziels mit dem Wert 1 für die Lösungswahrscheinlichkeit (Schwierigkeitsindex 100%) beschrieben werden.

Beispiel 4: Termumformungen. 

In den Klassen 7 bis 9 sollen die Schüler das Umformen von Termen - mit Hilfe der Rechengesetze lernen. Es ist bekannt, daß dabei noch mehr Schüler als bei der Bruchrechnung scheitern.

Im Rahmen einer fachdidaktischen Analyse des Gebiets ist es möglich - wir arbeiten zur Zeit in Ludwigsburg an entsprechenden Programmen - , durch Beschränkung der Zahl der Rechenoperationen und der auftretenden Variablen sowie durch Angabe der verwendeten Äquivalenzumformungen (zum Beispiel Einbeziehung oder Ausschluß der Potenzgesetze) ein endliches Teilziel "Beherrschung der Äquivalenzumformungen" festzulegen. Wir gehen davon aus, daß eine geeignete Auswahl von Schülern dieses Teilziel in der Weise erreicht, daß jede Teilmenge der so erzeugbaren  Aufgaben in angemessener Zeit und nach Anwendung der zur Verfügung stehenden Kontrollen fehlerfrei gelöst werden können. (Die soeben aufgestellte These ist eine Existenzaussage und deshalb leicht zu verifizieren.)

Wie bei der Bruchrechnung ist auch bei den Termumformungen der Aufgabenvorrat so groß, daß die Beherrschung des Ziels durch Lernen aller richtigen Aufgabenlösungen nicht mehr erreicht werden kann. Notwendig ist dagegen die gedächtnismäßige Beherrschung der anzuwendenden Äquivalenzumformungsregeln als Voraussetzung für die Beherrschung des Ziels.

Weitere denkbare Beispiele der gleichen Art finden sich im Bereich der Gleichungslehre, der Dreieckskonstruktionen, der Konstruktion der Bilder bei den Kongruenzabbildungen, der Integralrechnung oder der Diskussion algebraischer Kurven.

Bei jedem der genannten Gebiete ist die - bis auf Konzentrationsschwächen und ihre Folgen - hundertprozentige Beherrschung der Lösung eines zugehörigen Aufgabenvorrats ein erreichbares Ziel.

Zu der hundertprozentigen Beherrschung des Ziels bemerkt Klauer (F a.a.O. 1972, S. 170): "Kein Mensch, keine Maschine ist in der Lage, absolut fehlerlos zu arbeiten." Klauer zieht daraus den Schluß, man könne auch mit einer Sicherheit von 90% oder 95% zufrieden sein. - Würde man sich in der Technik mit Sicherheiten in dem von Klauer noch akzeptierten Bereich zufrieden geben, so könnte man weder Autos zum Fahren bringen noch Rundfunksendungen empfangen oder auch nur einen elektrischen Küchenherd benützen. Weltraumflug wäre undenkbar.

Wenn man von der hundertprozentig sicheren Lösung ausgeht und bestenfalls eine Störvariable zuläßt, vereinfacht sich das theoretische Meßproblem außerordentlich. (F Für die meßtechnische Festlegung des Einflusses der Störvariablen bietet es sich an, die einprozentige Rate für Zufallsfehler bei zahlreichen aufeinanderfolgenden menschlichen Denkprozessen anzusetzen. Dann kann man mit der Binomialverteilung die Mindestforderungen abschätzen.)

Auch bei einem endlichen Antwortvorrat wie zum Beispiel beim Einmaleins spielt die Ratewahrscheinlichkeit nur eine geringe Rolle. In solchen Fällen muß allerdings die Aufgabenzahl hinreichend groß gewählt werden, wenn eine Aussage über die Beherrschung des Ziels gemacht werden soll. (Für derartige Zusammenstellungen von Aufgaben paßt die binomiale Theorie von Klauer (F a.a.O. 1972). Bei den Normzeitübungen des FWU zum kleinen Einmaleins werden in einer Übung 36 Einzelaufgaben zusammengefaßt. Dann kann man schon mit recht großer Sicherheit auf die Kenntnis des ganzen Einmaleins schließen, wenn bei den 36 Aufgaben kein Fehler unterlaufen ist.)

Bei Zielen, die aus Teilauswahlen aus einem unendlichen Vorrat bestehen wie zum Beispiel bei den Termumformungen, ist es schwieriger, die Mindestzahl von Aufgaben festzulegen. Diese Frage besitzt keine vernünftige statistische Lösung - die statistisch bei Zufallsauswahl zu fordernde Zahl von Aufgaben liegt unrealistisch hoch, wenn man die bei der Aufgabenanalyse üblichen Verfahren anwendet  - ; sie ist jedoch über eine fachdiaktische Argumentation zu lösen: 

Es muß sichergestellt sein, daß der durch die Einschränkungen gezogene Rahmen ausgefüllt wird. Bei den Termumformungen hieße dies, daß zum Beispiel jede der zum Ziel gehörenden Äquivalenzumformungen mindestens ein Mal vorkommmt. Wenn dies in einer einzigen Aufgabe möglich ist, reicht schon diese eine Aufgabe aus. Wird die Aufgabe nicht gelöst, ist das Ziel mit Sicherheit nicht erreicht. Falls die Aufgabe richtig gelöst ist, darf man bei Termumformungen die Ratewahrscheinlichkeit als so gering ansetzen, daß man vom Erreichen des Ziels ausgehen kann. Der Praktiker des Mathematikunterrichts wird in der Regel verschiedene Aufgaben stellen, in denen er verschiedene Teilziele konkretisiert, das heißt, er wird die diagnostische Absicht in den Vordergrund stellen.

Die "wahren Mathematiker" werden mir jetzt entgegenhalten, daß bei meinen Beispielen gerade alle diejenigen Aufgabenstellungen ausgeklammert worden seien, die für die eigentliche Mathematik kennzeichnend seien. Ehe ich auf diesen Vorwurf nochmals eingehe, will ich aber noch Gesichtspunkte erörtern, die sich aus dem Versuch taxonomischer Betrachtungen ergeben. 
 

Der Begriff Taxonomie wurde von Bloom und seinen Mitarbeitern (F Bloom 1956; deutsch: Bloom u.a. Taxonomie von Lernzielen im kognitiven Bereich, Beltz, Weinheim 1972) als Bezeichnung für die Klassifikation von Zielen in die allgemein-didaktische Diskussion eingeführt. Im Bereich kognitiver Anforderungen besitzt die Bloomsche Taxonomie sechs Stufen:
 

• Wissen 
• Verstehen 
• Anwendung 
• Analyse 
• Synthese 
• Bewertung

Der Anwendung dieses Klassifikationsschemas liegt die Vorstellung zugrunde, daß mit diesen sechs Kategorien - und einigen Unterkategorien - ein weitgehend vom Inhalt unabhängiger Vergleich der Anforderungen bei der Überprüfung von Unterrichtserfolg erreicht werden könne. (Der Ausgangspunkt für die Arbeitsgruppe war das Bemühen, Schulabschlüsse vergleichbar zu machen und damit zu bewerten.)

Eine Reihe von Autoren hat versucht, die Bloomsche Taxonomie so weiterzuentwickeln, daß sie im Mathematikuntrricht besser anwendbar wird (F z.B. Avital/Shettleworth 1968 (deutsch Ziele des Mathematikunterrichts - Ideen für den Lehrer, Vieweg, Braunschweig 1983), Wilson (F in Bloom-Hastings-Madaus, Handbook on formative and summative evaluation of student learning, McGraw-Hill, 1971) oder Zech, Grundkurs Mathematikdidaktik, Beltz, Weinheim 1976). Avital/Shettleworth und Wilson geben zahlreiche Beispiele für Aufgaben und schlagen eine Einordnung ihrer Aufgaben in das modifizierte Schema vor. U.a. Bühler (F Bühler, Zweidimensionale Taxonomie von Lernzielen und Inhalten im kognitiven Bereich, Lexika, Weil der Stadt 1980) erweitert den Aufbau und den Vorschlag für den Anwendungsbereich von Taxonomien. 

Nach zahlreichen Beobachtungen sind Schüler und Studenten, die eines dieser Klassifikationsschemata beherrschen, recht gut in der Lage, ihr eigenes Vorgehen bei der Lösung einer mathematischen Aufgabe zutreffend in das verwendete Schema einzuordnen. Dies fördert die Selbsterkenntnis und ist insofern von Nutzen.

Vor allem Avital und Shettleworth betonen, daß das Ziel des Mathematikunterrichts darin bestehen müsse, möglichst viel auf einem möglichst hohen taxonomischen Niveau zu arbeiten.

Der Mißbrauch oder die mangelnde Einsicht in die Bedeutung von Taxonomien zeigt sich, wenn versucht wird, Ziele ohne Verbindung zu konkreten Personen und Vermittlungsverfahren zu klassifizieren. Versuche dieser Art sind zum Scheitern verurteilt, wenn man den beteiligten Personen zugesteht, daß sie in der ihnen angemessenen Art neue Fähigkeiten erwerben dürfen, und wenn man ihnen freistellt, auf welche Weise sie ein Problem lösen wollen. Hinzu kommt noch, daß es in der Regel nur auf das Ergebnis ankommt, nicht aber auf den Weg, auf dem das Ergebnis gefunden worden ist. Freudenthal hat (F Freudenthal, Lernzielfindung im Mathematikunterricht, Z.f.Päd. 20 1974 Heft 5, S. 719 - 729) die Problematik mit dem Beispiel des "eingefleischten Vegetariers" illustriert. Er kommt zu dem Ergebnis: "Ein System wie die Taxonomie verursacht das, das man in der Medizin einen Placebo-Effekt nennt."

Zur Erläuterung will ich nochmals auf das Ziel "Beherrschung des kleinen Einmaleins" zurückgreifen. Es besteht weitgehend Einigkeit darin, daß auf eine sichere Beherrrschung der Aufgaben zu diesem Bereich nicht verzichtet werden kann. Eine solche ist Grundvoraussetzung dafür, daß übergeordnete Ziele wie das Lösen von Sachaufgaben, die Bruchrechnung, Termumformungen, die Beurteilung von Taschenrechnerergebnissen oder Integrationsaufgaben mit Ausicht auf Erfolg in Angriff genommen werden können. 

Wie findet der zehnjährige Schüler oder ein älterer die Antwort auf die Frage: Was ist 7*4? - Es gibt viele Möglichkeiten:

• Der Schüler "weiß" das Ergebnis. In diesem Fall tappen wir vollständig im Dunkeln und können nicht sagen, auf welche Weise die Antwort 28 zustandekommt.
• Der Schüler sagt in Gedanken die Viererreihe her und spricht das Ergebnis von 7*4 aus.
• Der Schüler "weiß" das Ergebnis der Tauschaufgabe 4*7 und "benützt" dieses Wissen für seine Antwort.
• Der Schüler überlegt, daß 7*4 zerlegt werden kann in 5*4 und 2*4 und berechnet aus dieser Zerlegung additiv das Ergebnis.
•  ...

• gewußt hat, daß 7*4 = 28 ist, 
• verstanden hat, daß er die siebte (beziehungsweise die achte!) Zahl der Viererreihe sagen soll, 
• angewendet hat, daß das Kommutativgesetz gilt, 
• analysiert hat, daß die Aufgabe mit dem Distributivgesetz auf einfachere Aufgaben zurückgeführt werden kann, 
• Linearitätseigenschaften in einem Linksvektorraum benützt oder ob er 
• synthetisch das Ergebnis aus 5*4 und 2*4 gefunden hat.

Entsprechende Überlegungen kann man anhand anderer Inhalte vornehmen, zum Beispiel mit den oft in diesem Zusammenhang genannten Beweisen und Anwendungen des Satzes von Pythagoras oder mit der Kurvendiskussion. Die erzielten Einordnungen sind meistens künstlich und halten einer Überprüfung nicht stand, wie man in jedem Seminar leicht feststellen kann. Für die Praxis des Unterrichts besitzen daher taxonomische Überlegungen - von der Anwendung bei der Unterrichtsplanung abgesehen - nur einen geringen Wert.

Eine andere Fage wäre interessanter: Kann der Schüler jeden der oben genannten Wege zu 7*4 erläutern? Diese neue Frage kann ebenfalls wieder auf verschiedenen taxonomischen Niveaus beantwortet werden, wobei diesmal auch Antworten auf dem Niveau 6 (Bewertung) möglich sind - und diese können aus dem Gedächtnis kommen, also auf dem untersten Niveau, der Anwendung von Wissen angesiedelt sein.

Vielleicht ist nun gerade dieses letzte Beispiel geeignet, um den am Ende des letzten Abschnitts zitierten "wahren" Mathematikern zu entgegnen. Sie gehören zu denen, die nach der bissigen Feststellung von Skinner (F siehe 1.2) "Bildung" vermitteln und infolgedessen von vornherein Anspruch auf ein höheres Ansehen haben, als diejenigen, die als Ziel des Unterrichts aufweisbare Kenntnisse und Fertigkeiten ansehen, und deren Richtung ich in diesem Buch vertrete.

Könnte es nicht sein, daß hier ein Mißverständnis leicht möglich ist und dies ausgenützt wird. Die Forderung nach aufweisbaren Kenntnissen und Fertigkeiten wird leichtfertig mit Drill und öder Mechanisierung gleichgesetzt. Der erfahrene Lehrer weiß aber, daß gerade mit Drill und mit Mechanisierung ohne geistige Anregungen das Ziel hundertprozentiger Sicherheit nicht oder nur bei einem verschwindend kleinen Teil der Schüler erreicht wird. Dagegen ist ein vielseitiger - ein auf den oberen Bloomschen Niveaus angesiedelter - Unterricht vermutlich die bessere Grundlage für Sicherheit des Könnens. Gerade wenn die hundertprozentige Beherrschung eines komplexeren Ziels angestrebt wird, ist mit eindimensionalen Dressursequenzen wenig auszurichten.
 

Schließlich muß der Lehrer auch an die Kinder denken. Oberste Aufgabe der Schule ist es nicht, mittelmäßigen Lehrern eine noch befriedigende Chance zur Selbstverwirklichung zu bieten; den Kindern und Jugendlichen Chancen zur Entwicklung der in Ihnen steckenden Möglichkeiten zu öffnen, ist dagegen die große Daueraufgabe, an deren Optimierung sich noch viele Generationen die Zähne ausbeißen können. Der nächste Abschnitt soll dazu einen Beitrag leisten.
 

Wenn der Erfolgskontrolle ein Meßmodell zugrundegelegt wird, so hat dies Rückwirkungen auf das Verfahren der Aufgabenanalyse. Unter dem Stichwort Aufgabenanalyse faßt man (Siehe 1.7) alle diejenigen Vorgänge zusammen, die für die Aufnahme einer Aufgabe in einen bestimmten Aufgabenkatalog oder aber für ihren Ausschluß aus diesem maßgebend sind. In der klassischen Testtheorie werden die folgenden Auswahlkriterien benützt:

• Schwierigkeitsindex 
• Trennschärfe 
• Reliabilität 
• Validität

Entsprechend wird bei der Messung nach dem Rasch-Modell vorausgesetzt, daß bei einer Aufgabe

• Schwierigkeitsparameter 
• Fähigkeitsparameter

In beiden Meßmodellen wird die Beibehaltung oder Zurückweisung einer Aufgabe im Aufgabenkatalog empirisch durch statistische Kennwerte entschieden. Besonders "schwierige" oder besonders "einfache" Aufgaben stören die Theorie; sie werden deshalb ausgeschieden. 

Wir erinnern uns daran, daß beim Raschmodell 9*0 zu den auszuscheidenden Aufgaben gehört hat und daß dies fachdidaktisch nicht vertretbar ist. Für die Festlegung mathematischer Ziele durch Aufgabenkataloge ist daher ein anderes Verfahren der Aufgabenanalyse zu finden.

K.D. Mai und ich haben uns mit dieser Frage auseinandergesetzt. Wir haben uns bemüht, einen Teil der Ziele des Mathematikstudiums an der Pädagogischen Hochschule Ludwigsburg durch Aufgabenkataloge zu konkretisieren. Die Ergebnisse sind unter dem Namen Mathematik-Studienmaterial (F Mai-Nestle, Mathematik Studienmaterial, Herder, Freiburg 1974,1975) erschienen.

Als Aufgabenform haben wir Auswahlantwortaufgaben des Typs x aus 5 gewählt. Soweit solche Aufgaben für Bewertungen benützt worden sind, wurden richtige Teilantworten innerhalb einer Aufgabe mit +1 Punkt, falsche Teilantworten mit -1 Punkte und nicht bearbeitete Teilfragen mit 0 Punkten bewertet. (Da beim Raten der Antwort der Erwartungswert positiv ist, bin ich inzwischen für Bewertungen zu Auswahlantwortaufgaben des Typs x aus n mit geradzahligem n übergegangen, so daß der Erwartungswert für das Erraten der Antworten bei Null liegt.)

Die Probleme, die sich uns bei der Aufgabenanalyse stellten, liegen in einer ganz anderen Richtung. Vorab ist klar, daß ein nicht sachverständiger Bearbeiter der Aufgaben keinen Zugang zu deren Lösung besitzt. Höchstenfalls kann er versuchen, durch Raten zu richtigen Einzelergebnissen zu kommen. Diese sind bedeutungslos, wenn das Modell hundertprozentig richtiger Lösungen zugrundegelegt wird und die Ratewahrscheinlichkeit genügend klein ist. Dann entfallen vorab die Fragen nach Schwierigkeitsindex und Trennschärfe; auch die Reliabilität, das heißt, die Reproduzierbarkeit der Ergebnisse, ist bei einem Modell gesichert, das von hundertprozentigen Lösungen bei den Sachverständigen und keinen Beiträgen zur Lösung bei den nicht Sachverständigen ausgeht. In diesem Fall vereinfacht sich die Aufgabenanalyse außerordentlich. Es bleiben zwei Hauptanforderungen an die Aufgaben:

• hundertprozentige Lösung durch Sachverständige 
• Validität.

Um die Bearbeitungszeit abzukürzen, haben wir einen einfachen Weg gewählt, der der theoretischen Forderung nach hundertprozentig richtiger Lösung nahekommt. Wir haben die Aufgaben durch Studenten bearbeiten lassen, die eine Veranstaltung zu den im jeweiligen Aufgabenkatalog konkretisierten Themen "erfolgreich"  abgeschlossen haben. Diese Studenten haben in den verschiedenen Teilbereichen Lösungsquoten zwischen 91% und 98% erreicht. Im Anschluß haben wir diese Studenten gebeten, zu ihren Lösungen Stellung zu nehmen. Bei diesen Stellungnahmen wurde ganz selten eine richtige Lösung in Frage gestellt; die größere Zahl der fehlerhaften Lösungen wurde ohne Hilfe erkannt. Bei den wenigen Teilantworten, bei denen die richtige Lösung nicht selbständig erkannt wurde, erörterten wir die Lösung im Gespräch. In der Regel stellte es sich bei diesen Fragen heraus, daß sie mißverständlich formuliert waren. Solche Aufgaben wurden eliminiert, wenn sich nicht zweifelsfrei eine unmißverständliche Formulierung finden ließ. Manchmal stellte sich heraus, daß für die Lösung außerhalb des Themas liegende Kenntnisse herangezogen werden mußten. Auch solche Aufgaben wurden ausgeschieden.

Bei den nach diesem Verfahren übrigbleibenden Aufgaben können wir davon ausgehen, daß der Sachverständige, der das im Aufgabenkatalog konkretisierte Ziel erreicht hat, theoretisch diese Aufgaben mit hundertprozentiger Sicherheit lösen kann. Abweichungen von der Hundertprozentnorm sind zufällige Fehler, die bei der Anwendung des Modells in der Praxis mit guter Reproduzierbarkeit durch eine Zufallsfehlerquote von 1% ausgeglichen werden können. (Nach der Binomialverteilung müssen dann, wenn keine Zeit für die Anwendung von Kontrollstrategien eingeräumt wird, mindestens 9 von 10 Aufgaben richtig gelöst sein.)

Das zweite Problem, die Validität, ist mit diesem Teil der Aufgabenanalyse noch nicht gelöst. Von der Natur der Sache her kommt hierfür jedoch nur die inhaltliche Validität in Frage. Für diese sind Fachleute kompetent. Statistische Gesichtspunkte könnten nur dann zugezogen werden, wenn bei einer größeren Zahl von Fachleuten divergierende Feststellungen zu koordinieren wären. Dies war bei unseren Arbeiten nicht der Fall. Wir haben Fachleute anderer Hochschulen gebeten, die Aufgaben im Hinblick auf inhaltliche Validität - diese schließt fachdidaktische Relevanz ein - durchzusehen. In unserem Fall ergab sich keine Notwendigkeit, weitere Aufgaben genauer unter dem Gesichtspunkt der Validität oder der hundertprozentigen Lösbarkeit zu überprüfen. 

Und nun kommt eine wichtige Feststellung: Während die Aufgabenanalyse, wie sie beim klassischen Test mit Normalverteilungshypothese oder beim Rasch-Modell auszuführen ist, mit einem beträchtlichen Rechen- und Auswertungsaufwand verbunden ist, der die Anwendung in der Schule fast unmöglich macht, kann die Erfolgskontrolle beim Hundertprozent-Modell im Schulalltag ausreichend angenähert werden.

Für die Anwendung in der Schule setze ich ein Mindestmaß von Kooperation einiger Lehrer voraus, oder notfalls einen verschiedene Klassenstufen umfassenden Lehrauftrag eines Einzellehrers. Dann können die im herkömmlichen Sinn "guten" Schüler einer höheren Klasse an die Stelle der Studenten bei der von Herrn Mai und mir durchgeführten Arbeit treten. Ihre Einbindung in eine solche Erprobungsarbeit bedeutet für die teilnehmenden Schüler eine wirksame Wiederholung; sie beteiligt zudem die betreffenden Schüler positiv an der Arbeit der Schule mit entsprechenden Rückwirkungen auf ihre Gesamtmotivation. Die Beschränkung auf die guten Schüler ist dabei unerläßlich, da nicht davon ausgegangen werden kann, daß in der vorausgegangenen Klasse zielorientiert gearbeitet worden ist. Außerdem darf man sich keine Illusionen über die Langzeitergebnisse des Unterrichts machen.  (F Ich hatte früher mehrfach Aufgaben der damals üblichen Aufnahmeprüfungen für die Aufnahme ins Gymnasium Schülern der Klassen 5 bis 9 heutiger Zählung vorgelegt. Die durchschittlichen Arbeitsergebnisse lagen regelmäßig bei Anwendung des für die Aufnahmeprüfung vorgeschriebenen Bewertungsschlüssels zwischen 3,2 und 5,5, wobei sowohl gute als auch schlechte Ergebnisse bei den jüngeren und bei den älteren Klassen vorgekommen sind.)

 In der Phase der Besprechung der Lösungen wird schnell deutlich, ob die Fehler und Unsicherheiten der Schüler auf die Form der Aufgabe oder auf mangelnde Voraussetzungen zurückzuführen sind.

Die ersten zwei Schritte des Verfahrens der Aufgabenanalyse lassen sich also auch in der Schule durchführen. Für den dritten Schritt, die Beurteilung der Aufgaben durch Experten im Hinblick auf die Relevanz für das in den Aufgaben konkretisierete Unterrichtsziel, sollten interessierte Kollegen der eigenen, besser noch fremder Schulen gewonnen werden.

Solange schulübergreifend keine der beschriebenen Aufgabenkataloge für die Lehrplanthemen jeder Klassenstufe angeboten werden, kann hier im kleinen an vielen Stellen an solchen Sammlungen gearbeitet werden, die später unter Umständen einmal als Grundlage für eine landesweite Präzisierung der Ziele des Mathematikunterrichts herangezogen werden können. 
 

Die Problematik der Ziele, die der Mathematikunterricht erreichen soll, hatten wir bereits in den ersten Abschnitten dieses Kapitels diskutiert. Nach unseren bisherigen Ergebnissen haben wir Anlaß, uns ein zweites Mal mit diesem Thema zu beschäftigen und eine Antwort auf die folgenden Fragen zu versuchen:

• Wer bestimmt die Ziele? 
• Wer vermittelt die Ziele? (Oder: Wie können die Ziele erreicht werden?) 
• Wer kontrolliert, ob die Ziele erreicht worden sind.

Wie Ziele formuliert werden können, soll in diesem Zusammenhang nicht nochmals erörtert werden. Wir haben dafür ausreichende Möglichkeiten in den vorstehenden Abschnitten erörtert.

Wer bestimmt die Ziele? - Offenbar ist diese Frage eindeutig geregelt. Es gibt doch Lehrpläne. Diese Lehrpläne sind nach Schularten differenziert. Die Auswahl der Ziele ist also scheinbar durch die Festlegung der Schulart oder eines speziellen Zweiges in einer Schulart erfolgt.

Die Wirklichkeit ist komplizierter. Vorläufig sind mögliche Ziele nicht öffentlich bekannt. Erst wenn eine Übersicht über die möglichen Ziele vorliegt, kann man unter ihnen nach den Bedürfnissen der Schüler und der Gesellschaft auswählen. Grundsätzlich wäre die Entscheidung über die Ziele denkbar durch
 

• die Gesellschaft (Schulverwaltung, Regierung), 
• den Lehrer 
• den Schüler selbst, 
• die Eltern, oder aber einfach durch 
• den Zufall.

Ein Interesse der Gesellschaft an einer Entscheidung über die Ziele kann nicht bestritten werden. Zur Erhaltung ihrer Grundlagen braucht die Gesellschaft Menschen, die im Rahmen der gesellschaftlichen Arbeitsteilung ihre Fertigkeiten und Fähigkeiten einbringen. Die Gesellschaft sollte daher sicherstellen, daß solche Fertigkeiten und Fähigkeiten, soweit möglich erworben werden,  mindestens bis zur Deckung des Bedarfs, der im Zeitpunkt der Entscheidung bekannt ist. Um darüber hinaus eine weitere Entwicklung zu ermöglichen, verlangt das gesellschaftliche Interesse, daß die vorhandenen Begabungen zur Entfaltung angeregt werden.

Im gegenwärtigen Zeitpunkt liegt die Bestimmung über die Ziele des Mathematikunterichts weitgehend beim einzelnen Lehrer. Er kann, wie  wir gesehen haben, das Niveau der von ihm gestellten Anforderungen in weiten Grenzen selbst festlegen. Darüber hinaus besitzt er den entscheidenden Einfluß auf die allgemeine Lernhaltung, die die Schüler in seinem Unterricht entwickeln und dann unter Umständen über ihr ganzes Leben beibehalten. Wer schon einmal eine fünfte Gymnasial- oder Realschulklasse übernommen hat, weiß, daß die von dem einen Lehrer kommenden Schüler gelernt haben, ein übersichtlich gegliedertes Heft mit Datum und sauberer Schrift zu führen, ohne daß hierfür nochmals irgendwann unterstützende Hinweise nötig wären, während die von einem anderen Lehrer kommenden Schüler ihre Notizen in einer so unübersichtlichen Form anlegen, daß sie auch bei einfachen inhaltlichen Anforderungen rasch den Überblick verlieren. Hinter der inhaltlichen Arbeit der Schule wird hierbei eine nicht offengelegte, oftmals dem jeweiligen Lehrer nicht einmal bewußte Zielsetzung deutlich. Im dritten Kapitel werden wir erörtern, daß es weitgehend am Lehrer liegt, ob die Kinder sich selbständig und unabhängig mit Problemen auseinandersetzen, oder ob sich der Lehrer so in den Vordergrund drängt, daß die Person des Vermittlers die Inhalte überdeckt.

Beim Konzept des "offenen Unterrichts" artikulieren die Kinder ihre "Lernbedürfnisse" selbst. Es wird dabei unterstellt, daß die Kinder bereits die erforderliche Übersicht über mögliche Ziele besitzen. (Merkwürdigerweise ist ja auch der Begriff "educational objectives" (Gegenstände der Erziehungsbemühungen) mit dem Terminus "Lernziele" ins Deutsche übersetzt worden.) In einer entsprechenden Lernumgebung mit eingehender Beratung und Motivation könnte dieses Konzept des offenen Unterrichts einen Idealzustand darstellen. Ohne diese Beratung bedeutet dieses Konzept eine unverantwortliche Überforderung der Kinder.

Eltern sehen oft nur das Fernziel eines guten Starts in das Berufsleben. Für eine sachkundige Einflußnahme auf die Ziele fehlt auch ihnen häufig die Übersicht. Zudem haben sie oft erlebt, daß Noten wichtiger waren als Fähigkeiten. Ideal wäre es, wenn Eltern eine sachkundige Beratung der Schule über die für das Kind erreichbaren Zielsetzungen nicht nur punktuell beim Übergang in eine andere Schulart oder einen anderen Kurs erhalten würden, sondern als permanente Einrichtung auf der Grundlage einer zuverlässigen Messung des jeweiligen Lernstandes, den das Kind erreicht hat. Mit solchen Informationen ausgestattet könnten die Eltern das Elternrecht der Wahl der Zielsetzungen kompetent wahrnehmen.

Im gegenwärtigen Schulsystem entscheidet fast ausschließlich der Zufall, welche Zielsetzungen beim einzelnen Kind in der Schule verwirklicht werden. Die Maßstäbe der zufälligen Lehrer entscheiden, ob das Kind dem Anspruch der Sache ausgesetzt wird oder ob es "nur" die Anpassung an die Willkür einer Person lernen muß. Der Lehrer gibt den Ausschlag, ob beim Kind die Selbständigkeit oder aber Abhängigkeit und Unselbständigkeit gefördert werden, ob das Kind in seiner Umwelt ordnend oder zerstörend wirkt.

In den beiden nächsten Kapiteln wird es um Hilfsmittel und Arbeitsformen gehen, mit denen der Lehrer ein breiteres Spektrum von Zielsetzungen verwirklichen kann. Wie in vielen anderen Berufen muß allerdings auch der Lehrer damit rechnen, daß sich sein Aufgabenbereich verändert.

Beispiele aus dem Ausland zeigen, daß die hier propagierte Sichtweise in anderen Ländern in die Tat umgesetzt wird. In Frankreich bietet das staatliche Centre National d'Enseignement par Correspondance (F bis vor kurzem Tele-Enseignement, 60 Bld du Lycée, F 92 171 Vanves) kleine Arbeitspakete an. Diese bestehen aus einer methodisch-didaktischen Anleitung und einem Satz Kontrollfragen. Der Lehrer kann den angebotenen Stoff unterrichten. Wenn er die von den Schülern ausgefüllten Kontrollbogen einsendet, werden sie durch einen Rechner korrigiert und wieder zurückgeschickt. Die Auswertungsdaten dienen zugleich als Rückmeldung für das Angebot. In England schließt das Sekundarschulwesen mit der A-Level-Prüfung ab, die extern vorbereitet und kontrolliert wird. (F In ZDM 13 1981 Heft 5 unterrichten fünf Beiträge über Schulabschlüsse im Ausland.)
 

Im Mathematikunterricht produzieren wir keine Glühlampen. Trotzdem sollten wir die kleinen möglichen Schritte beginnen, mit denen wir mit unserem Unterricht wenigstens die Minimalansprüche befriedigen können, die Glühlampenhersteller bei jeder einzelnen Glühlampe erfüllen. Es ist möglich, daß wir dabei nur einen Teil der Unterrichtsergebnisse erfassen. Jeder Lehrer wird das für sich inanspruchnehmen. Diejenigen Lehrer, die "nur" Kenntnisse und Fertigkeiten vermitteln - vergleichen Sie nochmals mit dem Zitat von Skinner auf S XX - erfahren allerdings bei diesen kleinen Schritten positive Rückmeldungen, die sie ermutigen können, sich für eine unverzichtbare Aufgabe im Interesse der Gesellschaft auch künftig einzusetzen.