Tangentenabschnitte an einen Kreis

Aufgabe: Beweisen Sie unter Anwendung geeigneter Kongruenzsätze, dass die der beiden durch einen Punkt der Ebene an einen Kreis gleich lang sind.
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Beweis:

Wir wissen, der Kreis hat einen Mittelpunkt, den wir nennen wollen. Für alle Punkte auf gilt dann aber: = . liegt jedoch ausserhalb des Kreises , somit ist er weiter vom Mittelpunkt entfernt, also gilt >.

Weiterhin haben wir noch zwei von an . Nennen wir sie doch mal und . Über wissen wir, dass sie jeweils genau einen Punkt mit dem Kreis gemeinsam haben, die die wir und nennen wollen. Diese Punkte bestimmen zusammen mit dem Punkt die beiden und . Da die und aber auch auf dem Kreis liegen, gilt für sie == . Außerdem wissen wir über die , dass sie senkrecht auf die zugehörigen Radien und stehen. Somit gilt für die beiden Tangentialwinkel =90°= .

Betrachten wir nun noch einmal die Strecke , so erhalten wir die beiden Dreiecke und . Diese Dreiecke haben folgende Werte gemein:

Dreieck
gemeinsame Seite
gleichlange Seiten ()
gleichgroße Winkelfelder (90°)

Da die Scheitel und Winkel bzw. wegen > jeweils der längeren Seite gegenüberliegen, ist der Kongruenzsatz SsW anwendbar und die beiden Dreiecke und sind kongruent, womit auch ihre dritte Seite bzw gleich lang sind, was zu beweisen war.