Tangentenabschnitte an einen Kreis

Aufgabe: Beweisen Sie unter Anwendung geeigneter Kongruenzsätze, dass die der beiden durch einen Punkt der Ebene an einen Kreis gleich lang sind.
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Voraussetzungs- und Zielanalyse
(Was eine Voraussetzungs- und Zielanalyse ist...)

Voraussetzungs-/Ziel-Analyse:

Wir wissen, der Kreis hat einen Mittelpunkt, den wir nennen wollen. Für alle Punkte auf gilt dann aber: = . liegt jedoch ausserhalb des Kreises , somit ist er weiter vom Mittelpunkt entfernt, also gilt >.

Weiterhin haben wir noch zwei von an . Nennen wir sie doch mal und . Über wissen wir, dass sie jeweils genau einen Punkt mit dem Kreis gemeinsam haben, die die wir und nennen wollen. Diese Punkte bestimmen zusammen mit dem Punkt die beiden und . Da diese aber auch auf dem Kreis liegen, gilt für sie == . Außerdem wissen wir über , dass sie senkrecht auf die zugehörigen Radien und stehen. Somit gilt für die beiden Tangentialwinkel =90°= . Da die und aber auf dem Kreis liegen, gilt für sie natürlich ebenfalls ==.

Damit sind die Informationen, die wir direkt aus den gegebenen Voraussetzungen der Aufgabe gewinnen können, erschöpft. Wir könnten nun versuchen, weitere Folgerungen aus unserem bisherigen Wissen zu schließen. Wenn wir jedoch dabei nicht weiter auf unser Ziel im Auge behalten, laufen wir Gefahr, uns im Dschungel aller möglichen Folgerungen zu verlaufen. Deshalb wollen wir zunächst überlegen, was wir in der Aufgabe eigentlich zu zeigen haben.

Wir wollen beweisen, dass die und gleich lang sind. Also müssen wir überlegen, welche uns bekannten Sätze als Folgerung liefern, dass zwei Strecken gleich lang sind ("..., dann sind die beiden Strecken gleichlang"). Dazu fallen uns (hoffentlich) folgende Möglichkeiten ein:

und sind gleich lang, falls sie

  1. die Schenkel eines gleichschenkligen Dreiecks sind;
  2. sie zwei Radien einen Kreises sind, d.h. falls
  3. und auf einem gemeinsamen Kreis um liegen;
  4. gegenüberliegende Seiten in einem Parallelogramm sind (das können wir hier aber sofort ausschließen);
  5. die entsprechenden Seiten in zwei kongruenten Dreiecken sind;
  6. falls auf der Mittelsenkrechten von liegt

Beweisidee: Man betrachte den Mittelpunkt des Kreises und zeige die Kongruenz der beiden Dreiecke und unter Verwendung des Kongruenzsatzes SsW.

Beweis:

Sei ein Kreis mit Mittelpunkt und Radius . Weiter sei ein Punkt ausserhalb des Kreises und sowie die beiden an durch . Die beiden seien mit und bezeichnet.

Schaue man sich mal die Strecke und auch an!