Drei-Term-Rekursion

Eine rekursive Folge ist eine Zahlenfolge, deren Folgenglieder von den vorhergehenden Elementen abhängt.Ist dabei jedes Folgenglied (ab dem dritten) eine Linearkombination der beiden vorangegangenen Elemente in der Formx_(n+2) = a_(n+2) x_n + b_(n+2) x_(n+1),so spricht man von einer Drei-Term-Rekursion.


Falls die Parameter a und b dabei konstanste Werte für alle Iterationen haben, so lassen sich die Folgenglieder in einer schönen, geschlossenen Form angeben. Zur Bestimmung der geschlossenen Lösung braucht man die Eigenwert-Theorie aus der Linearen Algebra.


Zur genaueren Untersuchung des Einflusses der Startwerte x_0 und x_1 sowie der Parameter a und b habe ich auf Basis der Software Cinderella kleine Applets geschrieben, die sowohl die Drei-Term-Rekursion als auch die jeweilige geschlossene Lösung Visualisieren. So kann man durch anfassen der Parameter herausfinden, wann der Prozess eine Schwingung beschreibt und wann er einen exponentiellen Verlauf annimmt, wann er gedämpft ist und wann er sich "aufschaukelt". Ja, man kann sogar numerische Instabilitäten sichtbar machen.



Das erste Applet zeigt dabei die rekursive Folge sowie die jeweilige Rekursionsgleichung. Die Pararmeter konnen durch Bewegung der roten Punkte verändert werden.


Bitte schalten Sie Java ein, um eine Cinderella-Konstruktion zu sehen.

Die zweite Versinon ist bereits etwas aufwendiger. Hierbei werden die Parameter und Startwerte über Schieberegler eingestellt. Außerdem kann die Zahl der angezeigten Iterationen variiert werden und es gibt einen Ein-/Aus-Schalter für die Darstellung der geschlossenen Lösung.



Bitte schalten Sie Java ein, um eine Cinderella-Konstruktion zu sehen.

Das dritte Applet perfektioniert das Userinterface für die Eingabe der Werte. Die beiden Dialogboxen können an der oberen linken Ecke verschoben werden. Außerdem können die Parameter auch per Hand eingegeben werden, wobei auch numerische Ausdrücke wie "sqrt(2)" für die Quadratwurzel aus 2 erlaubt sind. Dies erlaubt es, numerische Instabilitäten bei der Berechnung der rekursiven Lösung zu verdeutlichen. Bei den Parametern a=2, b=-1 sowie den Startwerten x_0=1, x_1=sqrt(2)-1 schaukeln sich kleine Rechenfehler soweit auf, dass die rekursive Lösung beliebig weit von der exakten Lösung abwecht.


Bitte schalten Sie Java ein, um eine Cinderella-Konstruktion zu sehen.