Lineare Abbildungen und Eigenwerte

Aus der Elementar- und Schulgeometrie sind verschiedene Abbildungstypen bekannt:

Verschiebungen (Translationen),
Drehungen,
Achsenspiegelungen,
Punktspiegelungen,
Streckungen,
Orthogonalprojektionen usw.

Bis auf die Verschiebungen sind alle diese Abbildungen auch als lineare Abbildungen des R² in sich selbst beschreibbar, wenn das Zentrale Element der jeweiligen Abbildung im Ursprung liegt bzw. durch den Ursprung verläuft. (Genau genommen ist jede dieser Abbildungen eine affin lineare Abbildung, d.h. jede dieser Abbildungen läßt sich als Verknüpfung einer Translation, einer linearen Abbildung und der Inversen der Translation darstellen.)


Wir wollen uns im folgenden einige dieser Abbildungen ansehen. Dabei wollen wir insbesondere ihr Verhalten bzgl. Eigenräumen und Eigenwerten untersuchen.


Drehungen

Betrachten wir zunächst Drehungen um den Nullpunkt O mit einem Drehwinkel, der durch die Vektoren v1 und v2 bestimmt wird.

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Durch Bewegen der Vektoren v1 und v2 läßt sich der Drehwinkel verändern.

Aufgabe: Gelingt es, den Vektor v so zu bewegen, dass F(v) auf der von v aufgespannten Geraden Span{v} liegt? Wann ist dies möglich?

Antwort


Verschiebungen (Translationen)

Schauen wir uns jetzt mal eine Translation in Richtung von v1 an:

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Durch Bewegen des Vektors v1 kann man hier die Verschiebungsrichtung und -weite einstellen.

Aufgabe: Gelingt es nun, den Vektor v so zu bewegen, dass F(v) auf der von v aufgespannten Geraden Span{v} liegt?
Wann ist dies möglich?
Kann man dann etwas über das Längenverhältnis von v und F(v) aussagen?

Antwort

Werfen wir stattdessen mal einen Blick auf...
Geradenspiegelungen

Sei g die Gerade, die dem von v1 aufgespannten Unterraum entspricht, und sei v2 ein senkrechter Vektor dazu. Nun wollen wir an g spiegeln.

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Durch Bewegen des Vektors v1 kann man hier die Lage der Spiegelachse variieren.

Aufgabe: Erneut interessieren wir uns für die Frage, wann F(v) auf der von v aufgespannten Geraden Span{v} liegt, und natürlich in diesem Fall fü das Längenverhältnis von v und F(v).

Antwort

Wer über Geradenspiegelungen spricht, kommt zwangsläufig als nächstes auf...
Punktspiegelungen

Wir wollen jetzt die Spiegelung em Ursprung O betrachten. Als lineare Abbildung lässt sie sich einfach durch F(v)=-v beschreiben. Also müsste hier für jeden Vektor v gelten, dass F(v) auf Span{v} liegt. Das wollen wir mal gleich nachprüfen:

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Es gibt eine ganze Klasse von Abbildungen, die ganz ähnlich Funktionieren vie Punktspiegelungen, nämlich die...


Streckungen

Bei einer Streckung wir jeder Vektor auf ein vielfaches seiner selbst abgebildet, wobei es einen sogenannten Streckfaktor k gibt, der das stets konstante Verhänis aus Länge eines Vektors und der seines Bildes bestimmt: F(v)=kv.

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Durch Bewegen von v1 und w1 kann der Streckfaktor k variiert werden. Liegen v1 und w1 auf verschiedenen Seiten von O, so ist k negativ.

Dieses Prinzip lässt sich noch ein wenig verallgemeinern durch Definition einer...
Schiefstreckungen

Wälen wir zwei linear unabhängige Vektoren v1 und v2 sowie zwei Streckfaktoren k1 und k2, so können wir entlang der Richtung von v1 mit dem Faktor k1 und entlang der Richtung von v2 mit k2 Strecken. Unter Verwendung der Definition von Linearen Abbildungen können wir damit das Bild jedes anderen Vektors bestimmen, denn eine Lineare Abbildung ist durch Angabe der Bilder einer Basis festgelegt (und {v1,v2} ist eine Basis).

Das sieht dann in etwa so aus:

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Die beiden Streckfaktoren k1 und k2 können wiederum durch Bewegung der Vektoren v1 und w1 bzw. v2 und w2 verändert werden.

Aufgabe: Erneut sollte es interessant sein, wann es uns gelingt, F(v) auf Span{v} "einzufangen".

Antwort

Neben den normalen Streckungen und damit den Punktspiegelungen kann man auch die Geradenspiegelungen als einen Spezialfall der Schiefstreckung betrachten. Einen weiteren Spezialfall liefern die...
Orthogonalprojektionen

Sei g wieder eine Gerade, die dem Spann eines Vektors v1 entspricht. wir wollen nun eine Abbildung wie folgt definieren:

von einem beliebigen Punkt v aus fällen wir das Lot auf g. Der Lotfußpunkt des Lotes von v auf g sei F(v).

Auch dies ist eine Lineare Abbildung.

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Die Gerade wird hierbei wieder durch den Vektor v1 bestimmt.

Aufgabe: Tja, was sollte man nun fragen? Da mir gerade nichts besseres einfällt, frag ich einfach mal:
Wo muss ich das v hinsetzen, damit F(v) auf Span{v} liegt?
Ist doch mal 'ne interessante Frage, oder?

Antwort

Wir haben jetzt eine Menge Abbildungen gesehen, bei denen ganz unterschiedlich mit v und F(v) umgegangen wird. Darum wollen wir unsere Erkenntnisse mal etwas zusammenfassen...


Lineare Abbildungen und ihre Eigenräume

Wir haben jetzt eine Menge Abbildungen gesehen, bei denen ganz unterschiedlich mit v und F(v) umgegangen wird. Dabei lassen wir die Translation, die keine Lineare Abbildung ist, außen vor.

Wir hatten gesehen, dass es bei Drehungen ausser dem Nullvektor keinen weiteren Punkt gibt, der auf ein Vielfaches seiner selbst abgebildet wird. D.h. nur für v=0 gilt F(v)=kv.

Bei den Geradenspiegelungen haben wir hingegen zwei Geraden durch den Ursprung gefunden, für die wir so eine Situation gefunden haben. Die Spiegelgerade g ist eine sogenannte Fixpunktgerade, denn für alle Vektoren v auf g gilt: F(v)=v=1v. Für Vektoren auf der senkrechten Gerade zu g durch O gilt hingegen F(v)=-v=(-1)v. Da Geraden durch den Ursprung O eindimensionale Unterräume des R² sind, haben wir hier also lineare Unterräume U1 und U2, für die gilt: F(v)=k1v für alle v aus U1 und F(v)=k2v für alle v aus U2, wobei hier k1=1 und k2=-1.

Etwas ganz ähnliches ist bei der Orthogonalprojektion zu beobachten, nur dass hier k2=0 gilt, genau so bei der Schiefstreckung, bei der wir zwei beliebige (verschiedene) k1 und k2 wählen konnten. Wir haben also in jedem der drei Fälle zwei eindimensionale Unterräum gefunden, die unter der jeweiligen Abbildung invariant bleiben, also auf sich selbst abgebildet werden, wobei beide UR jedoch unterschiedlich gestreckt werden.

Schließch hatten wir bei Punktspiegelungen und bei Streckungen jeden Vektor v auf ein Vielfaches von sich selbst abgeildet wird, d.h. hier gilt F(v)=kv für alle v, wobei bei der Punktspiegelung k=-1 gilt. Hier ist also die Menge aller v, die auf ein k-faches von sich abgebildet werden, der gesamte R².

Dieses Konzept verleitet uns zu einer neuen Definition, vielleicht der wichtigsten aus der LinAlgII:
Sei F:V->V ein Endomorphismus. Falls es einen Vektor v gibt, der ungleich dem Nullvektor ist und für den F(v)=kv gilt, so heißt k Eigenwert von F und v heißt Eigenvektor von F zum Eigenwert k. Die Menge aller Eigenvektoren zu einem Eigenwert k bilden jeweils einen Untervektorraum des Vektorraums V, den sogenannten Eigenraum von F zum Eigenwert k.

Schauen wir uns nun den allgemeinen Fall einer Linearen Abbildung an:

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Eine Lineare Abbildung ist bestimmt durch die Angabe einer Basis {v1,v2} und den Bildern w1=F(v1), w2=F(v2) der Basisvektoren. Durch Veränderung dieser vier Vektoren wird also auch F verändert.

Aufgabe:

  1. Versucht, F so zu konstruieren, dass F keine Eigenvektoren hat.
  2. Versucht, F so zu konstruieren, dass F nur die Eigenräume Span{v1} und Span{v2} hat.
  3. Versucht, F so zu konstruieren, dass F zwei eindimensionale Eigenräme hat, die aber nicht durch Span{v1} und Span{v2} gegeben sind.
  4. Versucht, F so zu konstruieren, dass Span{v1} ein Eigenraum von F ist, der zweite jedoch nicht Span{v2}.
  5. Versucht, F so zu konstruieren, dass jeder Vektor v außer der O-Vektor Eigenvektor von F ist.
  6. Versucht, F so zu konstruieren, dass es nur einen einzigen eindimensionalen Eigenraum gibt.

Antwort