Lineare Abbildungen und Eigenwerte

Aus der Elementar- und Schulgeometrie sind verschiedene Abbildungstypen bekannt:

Verschiebungen (Translationen),
Drehungen,
Achsenspiegelungen,
Punktspiegelungen,
Streckungen,
Orthogonalprojektionen usw.

Bis auf die Verschiebungen sind alle diese Abbildungen auch als lineare Abbildungen des R² in sich selbst beschreibbar, wenn das Zentrale Element der jeweiligen Abbildung im Ursprung liegt bzw. durch den Ursprung verläuft. (Genau genommen ist jede dieser Abbildungen eine affin lineare Abbildung, d.h. jede dieser Abbildungen läßt sich als Verknüpfung einer Translation, einer linearen Abbildung und der Inversen der Translation darstellen.)


Wir wollen uns im folgenden einige dieser Abbildungen ansehen. Dabei wollen wir insbesondere ihr Verhalten bzgl. Eigenräumen und Eigenwerten untersuchen.

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Nichteuklidische Geometrie: Die Poincaré-Ebene

Eine Geometrie, in der Euklids Parallelenaussage
"Zu jeder Geraden gibt es durch jeden Punkt der Ebene genau einen Punkt."
nicht gilt, nennt man Nichteuklidische Geometrie. Ersetzt man Euklids Parallelenaussage durch folgende Variante
"Zu jeder Geraden g gibt es durch jeden nicht auf g liegenden Punkt unendlich viele Parallelen."
so spricht man von einer hyperbolischen Geometrie.

Ein mögliches Modell der hyperbolischen Geometrie ist die sogenannte Poincaré-Ebene. Lesen Sie mehr...

Auflösen linearer Gleichungen

Das Auflösen von linearen Gleichungen der Form ax+b=cx+d nach x ist eine der grundlegenden Übungen, wenn in der Algebra Termumformungen behandelt werden. Das übliche Vorgehen kann man in drei Schritten zusammenfassen:

bringe die Konstanten auf die rechte Seite: /-b
bringe x auf die linke Seite: /-cx
Teile durch den Faktor vor x: /:(a-c)

Kann man diese Schritte geometrisch interpretieren?
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Drei-Term-Rekursion

Eine rekursive Folge ist eine Zahlenfolge, deren Folgenglieder von den vorhergehenden Elementen abhängt.Ist dabei jedes Folgenglied (ab dem dritten) eine Linearkombination der beiden vorangegangenen Elemente in der Formx_(n+2) = a_(n+2) x_n + b_(n+2) x_(n+1),so spricht man von einer Drei-Term-Rekursion.


Falls die Parameter a und b dabei konstanste Werte für alle Iterationen haben, so lassen sich die Folgenglieder in einer schönen, geschlossenen Form angeben. Zur Bestimmung der geschlossenen Lösung braucht man die Eigenwert-Theorie aus der Linearen Algebra.


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Diskrete Mathematik

Die Diskrete Mathematik hat zum Schuljahr 2006/07 Einzug in den Berliner Rahmenlehrplan für das Fach Mathematik in der Sekundarstufe I gehalten. Neben einfachen kombinatorischen Fragestellungen sollen verschiedene Alltagsprobleme mit Hilfe von Graphen modelliert und mit den grundlegenden Methoden aus dem Bereich der Graphen- und Netzwerk-Algorithmen behandelt werden. Lesen Sie mehr...