Voraussetzungs- und Zielanalsyse

Betreut man Lehrveranstaltungen für Mathematikstudenten des ersten Semesters, so bekommt man oft die Frage gestellt: "Wie kommt man eigentlich auf solche Beweise?" Insbesondere sogenannte Lehrbuchbeweise, wie sie in Vorlesungen und oftmals (leider) auch in großen Übungen und Tutorien präsentiert werden, lösen bei Studienanfängern Staunen und Unverständnis in gleichem Maße aus. Da werden Beweise angefangen mit der Einleitung "Sei Epsilon = 4 Delta/Pi.", gefolgt mit einer langen Rechnung, die sich am Ende in Wohlgefallen auflöst und es sieht stets so aus, als müsse ein "echter" Mathematiker sofort Wissen, wie groß dieses Epsilon gewählt werden muss, damit am ende Null herauskommt.

Dem gegenüber sehen sich die Studenten mit Hausaufgaben konfrontiert, bei denen sie die Lösung eben nicht so einfach sehen, die aber am Ende in der gleichen Weise präsentiert werden sollen. Daran kann man schon mal verzweifeln.

Eine kurze Idee, wie sich Studenten diese Frage nach dem Auffinden guter Beweisideen selbst beantworten können, soll dieser Artikel liefern.
Am Anfang möchten ich erst mal ganz deutlich klarstellen: Kaum einer der Beweise, die in Vorlesungen so elegant präsentiert werden, wurde mal eben in fünf Minuten heruntergeschrieben. Es handelt sich meist vielmehr um einen langwierigen Prozess, bei dem Ansätze entwickelt, verworfen, wieder weiterverfolgt und immer erneut modifiziert wurden, bis ein Beweis in der Lehrbuchform bekannt ist.

Bevor wir eine fertige Lösung einer Aufgabe, einen schlüssigen Beweis eines Satzes entwickeln können, müssen wir eine Art "Bestandsaufnahme" machen, das heißt wir führen eine Voraussetzungs- und Zielanalyse durch.

Bei der Voraussetzungsanalyse durchleuchten wir die explizit und implizit gegebenen Informationen und untersuchen, welche weiteren Eigenschaften der vorhandenen Objekte wir aus unserem Vorwissen (unserer Wissensbasis) ableiten können. (Bottom-up-Analyse)

Bei der Zielanalyse gehen wir genau anders herum vor: Wir sehen uns das Ziel der Aufgabe an und untersuchen, was wir wissen müssten, damit das Ziel erreicht wird (also hier: die Aussage bewiesen ist). Wir überlegen, was wir dafür zeigen müssen. Dann schauen wir, was wir davon bereits aus unserem Wissen bestätigen können und was noch nicht gezeigt ist. Das, was noch nicht gezeigt wurde, wird wieder entsprechend analysiert. Dies geschieht solange, bis alle auftretenden Fragen durch das Fundament unserer Wissensbasis beantwortet werden können. (Top-down-Analyse)

Bei der Bottom-up-Analyse baut man nacheinander logische Implikationen auf, die mit dem Vorwissen begründet werden können. Bei der Top-down-Analyse ist weit mehr Vorsicht angebracht, denn wir wollen ja niemals aus der Behauptung die Voraussetzungen folgern, sondern umgekehrt. Die Argumentation der Top-Down-Analyze erfolgt deshalb meistens nach dem Prinzip
„Es reicht zu zeigen, dass ...
Dafür reicht es zu zeigen, dass ..., denn dann folgt ...
etc.
Dafür müssen wir zeigen, dass ..., was aber laut ... aus den Voraussetzungen folgt.“

In der Praxis wird man während des Lösungsprozesses oftmals Bottom-up- und Top-down-Analysen stärker vermischen, das heißt der eigentlichen Lösung im Bottom-up-Prinzip werden mehrere Blöcke der Top-down-Analyse einbeschrieben, die selbst jedoch mit der Bottom-up-Methode durchzogen sind.

Deshalb wird man die endgültige Beweisführung vor der endgültigen Lösung der Aufgabe "in Reinschrift" zunächst sortieren und soweit wie sinnvoll in eine Bottom-up-Analyse verwandeln, wobei es jedoch durchaus wünschenswert ist, gerade bei längeren Beweisen sich kleine Teilziele stets mit der Top-down-Methode vor Augen zu halten.

Ein Beispiel finden Sie hier.

Weiteres über Voraussetzung- und Zielanalyse am Beispiel eines Geometrischen Beweises kann man nachlesen in:
Gerhard Steiner: "Lernen", Verlag Hans Huber, 1996, Kapitel 17:"Wie anschaulich ist anschauliches Lernen, zum Beispiel in Geometrie? - Begriffliche und figurale Komponenten des Lernens"