Funktionales Denken

Lineare Abbildungen und Eigenwerte

Aus der Elementar- und Schulgeometrie sind verschiedene Abbildungstypen bekannt:

Verschiebungen (Translationen),
Drehungen,
Achsenspiegelungen,
Punktspiegelungen,
Streckungen,
Orthogonalprojektionen usw.

Bis auf die Verschiebungen sind alle diese Abbildungen auch als lineare Abbildungen des R² in sich selbst beschreibbar, wenn das Zentrale Element der jeweiligen Abbildung im Ursprung liegt bzw. durch den Ursprung verläuft. (Genau genommen ist jede dieser Abbildungen eine affin lineare Abbildung, d.h. jede dieser Abbildungen läßt sich als Verknüpfung einer Translation, einer linearen Abbildung und der Inversen der Translation darstellen.)


Wir wollen uns im folgenden einige dieser Abbildungen ansehen. Dabei wollen wir insbesondere ihr Verhalten bzgl. Eigenräumen und Eigenwerten untersuchen.

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Auflösen linearer Gleichungen

Das Auflösen von linearen Gleichungen der Form ax+b=cx+d nach x ist eine der grundlegenden Übungen, wenn in der Algebra Termumformungen behandelt werden. Das übliche Vorgehen kann man in drei Schritten zusammenfassen:

bringe die Konstanten auf die rechte Seite: /-b
bringe x auf die linke Seite: /-cx
Teile durch den Faktor vor x: /:(a-c)

Kann man diese Schritte geometrisch interpretieren?
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Drei-Term-Rekursion

Eine rekursive Folge ist eine Zahlenfolge, deren Folgenglieder von den vorhergehenden Elementen abhängt.Ist dabei jedes Folgenglied (ab dem dritten) eine Linearkombination der beiden vorangegangenen Elemente in der Formx_(n+2) = a_(n+2) x_n + b_(n+2) x_(n+1),so spricht man von einer Drei-Term-Rekursion.


Falls die Parameter a und b dabei konstanste Werte für alle Iterationen haben, so lassen sich die Folgenglieder in einer schönen, geschlossenen Form angeben. Zur Bestimmung der geschlossenen Lösung braucht man die Eigenwert-Theorie aus der Linearen Algebra.


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Parametrisierte Kurven: Astroide

Zweidimensionale parametrisierte Kurven erhält man, in dem man zwei Funktionen f(t) und g(t) wählt und die Funktionswerte dieser Kurven für jedes reelle t als x- bzw. y-Koordinate eines Punktes wählt. Variiert man nun den Parameter t, so erhält man eine Kurve. Mit Hilfe der dynamischen Geometrie läßt sich die Entstehung solcher parametrisierten Kurven sehr anschaulich visualisieren.
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