Pi experimentell Bestimmen mit einem Zufallsexperiment

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Mit Hilfe einer Monte-Carlo-Simulation wird der Wert der Kreiszahl Pi näherungsweise bestimmt, in dem zufällig und gleichverteilt Dart-Pfeile ein ein Quadrat geworfen werden, dem eine kreisformige Dartscheibe einbeschrieben ist. Aus dem Verhältnis der Treffer auf der Dartscheibe und der geworfenen Pfeile lässt sich eine Approximation von Pi berechnen. Lesen Sie mehr...

Lineare Abbildungen und Eigenwerte

Aus der Elementar- und Schulgeometrie sind verschiedene Abbildungstypen bekannt:

Verschiebungen (Translationen),
Drehungen,
Achsenspiegelungen,
Punktspiegelungen,
Streckungen,
Orthogonalprojektionen usw.

Bis auf die Verschiebungen sind alle diese Abbildungen auch als lineare Abbildungen des R² in sich selbst beschreibbar, wenn das Zentrale Element der jeweiligen Abbildung im Ursprung liegt bzw. durch den Ursprung verläuft. (Genau genommen ist jede dieser Abbildungen eine affin lineare Abbildung, d.h. jede dieser Abbildungen läßt sich als Verknüpfung einer Translation, einer linearen Abbildung und der Inversen der Translation darstellen.)


Wir wollen uns im folgenden einige dieser Abbildungen ansehen. Dabei wollen wir insbesondere ihr Verhalten bzgl. Eigenräumen und Eigenwerten untersuchen.

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Nichteuklidische Geometrie: Die Poincaré-Ebene

Eine Geometrie, in der Euklids Parallelenaussage
"Zu jeder Geraden gibt es durch jeden Punkt der Ebene genau einen Punkt."
nicht gilt, nennt man Nichteuklidische Geometrie. Ersetzt man Euklids Parallelenaussage durch folgende Variante
"Zu jeder Geraden g gibt es durch jeden nicht auf g liegenden Punkt unendlich viele Parallelen."
so spricht man von einer hyperbolischen Geometrie.

Ein mögliches Modell der hyperbolischen Geometrie ist die sogenannte Poincaré-Ebene. Lesen Sie mehr...

Auflösen linearer Gleichungen

Das Auflösen von linearen Gleichungen der Form ax+b=cx+d nach x ist eine der grundlegenden Übungen, wenn in der Algebra Termumformungen behandelt werden. Das übliche Vorgehen kann man in drei Schritten zusammenfassen:

bringe die Konstanten auf die rechte Seite: /-b
bringe x auf die linke Seite: /-cx
Teile durch den Faktor vor x: /:(a-c)

Kann man diese Schritte geometrisch interpretieren?
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Parametrisierte Kurven: Astroide

Zweidimensionale parametrisierte Kurven erhält man, in dem man zwei Funktionen f(t) und g(t) wählt und die Funktionswerte dieser Kurven für jedes reelle t als x- bzw. y-Koordinate eines Punktes wählt. Variiert man nun den Parameter t, so erhält man eine Kurve. Mit Hilfe der dynamischen Geometrie läßt sich die Entstehung solcher parametrisierten Kurven sehr anschaulich visualisieren.
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Voraussetzungs- und Zielanalsyse

Betreut man Lehrveranstaltungen für Mathematikstudenten des ersten Semesters, so bekommt man oft die Frage gestellt: "Wie kommt man eigentlich auf solche Beweise?" Insbesondere sogenannte Lehrbuchbeweise, wie sie in Vorlesungen und oftmals (leider) auch in großen Übungen und Tutorien präsentiert werden, lösen bei Studienanfängern Staunen und Unverständnis in gleichem Maße aus. Da werden Beweise angefangen mit der Einleitung "Sei Epsilon = 4 Delta/Pi.", gefolgt mit einer langen Rechnung, die sich am Ende in Wohlgefallen auflöst und es sieht stets so aus, als müsse ein "echter" Mathematiker sofort Wissen, wie groß dieses Epsilon gewählt werden muss, damit am ende Null herauskommt.

Dem gegenüber sehen sich die Studenten mit Hausaufgaben konfrontiert, bei denen sie die Lösung eben nicht so einfach sehen, die aber am Ende in der gleichen Weise präsentiert werden sollen. Daran kann man schon mal verzweifeln.

Eine kurze Idee, wie sich Studenten diese Frage nach dem Auffinden guter Beweisideen selbst beantworten können, soll dieser Artikel liefern. Lesen Sie mehr...

Interaktive Beweisskizzen

Ein Problem bei der Präsentation von Beweisen in Print- und Onlinemedien besteht darin, die wichtigen Beweisschritte geeignet zu Visualisieren. Im Gegensatz zur Präsenzunterricht, bei denen Skizzen erst im Verlauf des Unterrichtsgesprächs oder -vortrags Schrittweise ergänzt werden, können in statischen Medien i.A. nur statische Skizzen präsentiert werden. Diese Lücke zwischen statischer Präsentation und dynamischer Entwicklung von Beweisskizzen soll durch interaktive Geometrie geschlossen werden.
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Dynamische Geometrie

Geometrie ist eines der klassischen Themen in der Schulmathematik. Dennoch bereitet dieses Thema vielen Schülern arge Probleme, was zum einen an ihrem mangelnden Vorstellungsvermögen aber auch an der traditionellen Beweislastigkeit des Stoffes liegt. Gerade in diesem zweiten Punkt liegt jedoch der Reiz und der Wert der Geometrie im Mathematikunterricht, lassen sich an ihr doch streng deduktive Beweismuster hervorrangend trainieren. Lesen Sie mehr...

Cinderella 2.0

Die neueste Version 2.0 des DGS-Systems Cinderella bietet unzählige Möglichkeiten zur Gestaltung interaktiver Arbeitsblätter und Visualisierungen.

Doch viele der Möglichkeiten bleiben in der offiziellen Dokumentation leider nur unzureichend erwähnt. Hier ist oftmals die Kreativität der Anwender gemischt mit einer gewaltigen Portion Insiderwissen über die integrierte Programmiersprache Cindy-Skript gefragt. Lesen Sie mehr...