Visualisierung

Lineare Abbildungen und Eigenwerte

Aus der Elementar- und Schulgeometrie sind verschiedene Abbildungstypen bekannt:

Verschiebungen (Translationen),
Drehungen,
Achsenspiegelungen,
Punktspiegelungen,
Streckungen,
Orthogonalprojektionen usw.

Bis auf die Verschiebungen sind alle diese Abbildungen auch als lineare Abbildungen des R² in sich selbst beschreibbar, wenn das Zentrale Element der jeweiligen Abbildung im Ursprung liegt bzw. durch den Ursprung verläuft. (Genau genommen ist jede dieser Abbildungen eine affin lineare Abbildung, d.h. jede dieser Abbildungen läßt sich als Verknüpfung einer Translation, einer linearen Abbildung und der Inversen der Translation darstellen.)


Wir wollen uns im folgenden einige dieser Abbildungen ansehen. Dabei wollen wir insbesondere ihr Verhalten bzgl. Eigenräumen und Eigenwerten untersuchen.

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Nichteuklidische Geometrie: Die Poincaré-Ebene

Eine Geometrie, in der Euklids Parallelenaussage
"Zu jeder Geraden gibt es durch jeden Punkt der Ebene genau einen Punkt."
nicht gilt, nennt man Nichteuklidische Geometrie. Ersetzt man Euklids Parallelenaussage durch folgende Variante
"Zu jeder Geraden g gibt es durch jeden nicht auf g liegenden Punkt unendlich viele Parallelen."
so spricht man von einer hyperbolischen Geometrie.

Ein mögliches Modell der hyperbolischen Geometrie ist die sogenannte Poincaré-Ebene. Lesen Sie mehr...

Auflösen linearer Gleichungen

Das Auflösen von linearen Gleichungen der Form ax+b=cx+d nach x ist eine der grundlegenden Übungen, wenn in der Algebra Termumformungen behandelt werden. Das übliche Vorgehen kann man in drei Schritten zusammenfassen:

bringe die Konstanten auf die rechte Seite: /-b
bringe x auf die linke Seite: /-cx
Teile durch den Faktor vor x: /:(a-c)

Kann man diese Schritte geometrisch interpretieren?
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Drei-Term-Rekursion

Eine rekursive Folge ist eine Zahlenfolge, deren Folgenglieder von den vorhergehenden Elementen abhängt.Ist dabei jedes Folgenglied (ab dem dritten) eine Linearkombination der beiden vorangegangenen Elemente in der Formx_(n+2) = a_(n+2) x_n + b_(n+2) x_(n+1),so spricht man von einer Drei-Term-Rekursion.


Falls die Parameter a und b dabei konstanste Werte für alle Iterationen haben, so lassen sich die Folgenglieder in einer schönen, geschlossenen Form angeben. Zur Bestimmung der geschlossenen Lösung braucht man die Eigenwert-Theorie aus der Linearen Algebra.


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Parametrisierte Kurven: Astroide

Zweidimensionale parametrisierte Kurven erhält man, in dem man zwei Funktionen f(t) und g(t) wählt und die Funktionswerte dieser Kurven für jedes reelle t als x- bzw. y-Koordinate eines Punktes wählt. Variiert man nun den Parameter t, so erhält man eine Kurve. Mit Hilfe der dynamischen Geometrie läßt sich die Entstehung solcher parametrisierten Kurven sehr anschaulich visualisieren.
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Euklidischer Algorithmus

Als Beispiel für die Visualisierung eines Algorithmusses aus der Algebra und Zahlentheorie dient hier der Euklidische Algorithmus zur Bestimmung des größten gemeinsamen Teilers zweier positiver ganzer Zahlen. Lesen Sie mehr...

Visualisierung

Interaktive Geometrie Software wie Cinderella bieten neben der Geometrie auch in vielen anderen Bereichen der Mathematik gute Möglichkeiten der Visualisierung von Zusammenhängen, die u.U. ein tieferes Verständnis der jeweiligen Materie erst ermöglichen.

An dieser Stelle präsentiere ich einige Beispiele aus ganz unterschiedlichen Bereichen wie z.B. der Analyse von Funktionen, Algorithmik in der Algebra, rekursive Folgen, etc.
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Interaktive Beweisskizzen

Ein Problem bei der Präsentation von Beweisen in Print- und Onlinemedien besteht darin, die wichtigen Beweisschritte geeignet zu Visualisieren. Im Gegensatz zur Präsenzunterricht, bei denen Skizzen erst im Verlauf des Unterrichtsgesprächs oder -vortrags Schrittweise ergänzt werden, können in statischen Medien i.A. nur statische Skizzen präsentiert werden. Diese Lücke zwischen statischer Präsentation und dynamischer Entwicklung von Beweisskizzen soll durch interaktive Geometrie geschlossen werden.
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