Nichteuklidische Geometrie: Die Poincaré-Ebene

Eine Geometrie, in der Euklids Parallelenaussage
"Zu jeder Geraden gibt es durch jeden Punkt der Ebene genau einen Punkt."
nicht gilt, nennt man Nichteuklidische Geometrie. Ersetzt man Euklids Parallelenaussage durch folgende Variante
"Zu jeder Geraden g gibt es durch jeden nicht auf g liegenden Punkt unendlich viele Parallelen."
so spricht man von einer hyperbolischen Geometrie.

Ein mögliches Modell der hyperbolischen Geometrie ist die sogenannte Poincaré-Ebene.
Die Poincaré-Ebene ergibt sich, wenn wir die üblichen Begriffe der Geometrie durch bekannte euklidische Objekte neu interpretieren:

Die Poincaré-Ebene E ist eine (euklidische) offene Halbebene. Die Punkte der Poincaré-Ebene sind die Punkte der Halbebene. als Poincaré-Geraden bezeichnen wir jedoch nur die offenen Halbgeraden, die (euklidisch) senkrecht auf die Randgerade von E stehen sowie die offenen Halbkreise, deren Mittelpunkt auf dieser Randgeraden liegen. Winkel zwischen Poincaré-Geraden misst man, indem man die Winkel der euklidischen Tangenten misst. Es gibt auch ein Streckenmaß in der Poincaré-Ebene, dass auf logarithmische Berechnung von Teilverhältnissen beruht. Ich verzichte an dieser Stelle auf eine ausführliche Erklärung dieses Streckenmaßes.

Verschiedene übliche Konstruktionen in der Poincaré-Ebene lassen sich überraschender (wirklich überraschend?) Weise auf euklidische Konstruktionen zurückführen. An dieser Stelle möchte ich einige dieser Konstruktionsaufgaben demonstrieren. Ich verzichte an dieser Stelle auf ausführliche Konstruktionsbeschreibungen. Auch die Begründungen, warum die gezeigten Konstruktionen zum Ziel führen, lasse ich Übungsaufgaben offen. Die Antworten darauf wurden in den Übungen zur Elementargeometrie geliefert.

Gerade durch zwei gegebene Punkte

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Senkrechte auf eine Gerade im Punkt der Geraden

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Lot auf Gerade von beliebigen Punkt

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Winkelhalbierende eines Winkelfeldes

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Mittelsenkrechte einer Strecke

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Abtragen von Strecken auf einer Geraden

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Streckung einer Geraden mit Streckfaktor 2

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Animierte Fassung der Streckung

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