Geschichte der Mathematik

Zur Gleichungslehre der Länder des Islam vor 1800

(Michael Ardelt )

 

 

 

Allgemeines zur Algebra in der islamischen Welt:

Vereinigung von vielfältigen Kulturen und Kenntnissen in den Bibliotheken (Araber haben riesiges Gebiet von Spanien bis Indien erobert).

Vielseitiges Erbe:

- Praktisches Rechnen aus der babylonischen Zeit

- Zahlzeichen aus Indien

- Geometrie aus Griechenland => allgemeiner Beweis von mathematischen Sätzen möglich

Übersetzung, vor allem griechischer Werke, an der BAGHDADER SCHULE.

Entwicklung der Unterhaltungsmathematik => Mathematik nicht nur für gebildete Leute

Frühester Algebraiker, MUHAMMED AL-KHWARIZMI (wirkte 820 in Baghdad), schrieb eines der ersten arabischen Lehrbücher über die Grundzüge der Algebra.

ABU KAMIL(ca.880): Sein Lehrbuch noch besser (tiefgründiger => Grundlage späterer Algebrabücher)

 

 

Die arabische algebraische Ausdrucksweise

 

Algebraische Symbole und Zahlzeichen werden in Worten ausgedrückt:

- „schai’“ (Ding) für x, „mal“ (Vermögen) für x², „ka’b“ (Würfel) für x³

- höhere Potenzen werden durch Wiederholen von „mal“ und „ka’b“ gebildet

 

Umwandlung zur Gleichungsform lauter positiver Glieder:

- „al-jabr“ (die Wiederherstellung): Addieren der Beträge negativer Glieder auf beiden Seiten.

- „al-muqabala“ (die Gegenüberstellung): Beim Vorkommen gleichnamiger Potenzen auf beiden Seiten,
   zieht man die Kleinere von der Größeren ab.

- „al-radd“ (die Zurückführung): Dividieren der Gleichung durch den Koeffizienten der höchsten Potenz.

 

Über die mittelalterliche, lateinische Umschreibung entstand aus „al-jabr“ Algebra.

 

 

Die Gleichung 2. Grades

Nach der Umwandlung liegen nur folgende sechs Gattungen vor:

 

 

4 , 5 , 6 sind Fälle der vollständigen Gleichung 2. Grades

Die Auflösung der Gleichungen war schon länger bekannt, aber neu ist, dass die Mathematiker der islamischen Zeit die Lösungen anhand von geometrischen Figuren darlegen.

 

 

Beweise von al-Khwarizmi

 

Beweis ohne Benutzung Euklids

1. Fall:                   x² + px = q

 

 

Lösungsansatz:

AB = BC = CD = DA = x ;

Alle Seiten dieses Quadrates werden um p/4 verlängert, wodurch ein neues Quadrat gebildet wird;

Die Oberfläche von ABCD( x² ) soll zusammen mit der Oberfläche der Rechtecke

(ein Rechteck: p/4x) gleich q sein;

=>Die Fläche des grossen Quadrats = q + 4(p/4)² = q + (p/2)²  oder  ( x + p/2)²

 

2. Fall                    x² + q = px

 

 

Lösungsansatz:

AB = BC =CD =DA = x;

DE = p    =>    DF = FE = p/2; =>(x< p/2 )

Deswegen muss BCEK = q sein, weil x² + q = px   =>   q = px - x²,

BH = HG , weil GFEK = FE²(=(p/2)²) sein soll;

Dadurch , dass IK = HF und BH = LI, sind die Rechtecke BHCF und IKML gleich groß und die Differenz von GFEM und BCEK = (p/2)² - q  = GHIL = ( p/2 - x)²;

 

 

Beweise von Abu Kamil

 

Seine Beweisart ist kürzer, setzt aber die Kenntnisse von den beiden Euklidsätzen voraus:

 

 

II, 6: AD * BD + CB² = CD²

 

3.  Fall                    x² = px + q

 

Lösungsansatz:

Es sei ABCD = x² und BE = p

=> DGEC = x² - px = q

F soll BE in der Mitte teilen;

Nach II,6 gilt:

 

BC * CE + FE² = FC²

 

Dadurch , dass  BC * CE = CD * CE = q ist, und FE² = (p/2)²

gilt:

 

 

Die Gleichung 3.Grades

Die Gleichung 3. Grades hat 3 Lösungen;

Es werden aber nur positive Ergebnisse betrachtet;

Komplexe Fälle werden als Unmöglichkeitsfälle angesehen;

 

 

 

 

Auflösungen von Khayyam:

2.Fall                     x³ + bx = c

 

Voraussetzungen:

p =   ,  q = c/b

=> Gleichung: x³ + px² = p²q

Der Durchmesser des Halbkreises sei d, und der Parameter der Parabel p.

Der Scheitel der Parabel schneidet den Kreis am Endpunkt des Durchmessers.

Wegen dem Höhensatz des rechtwinkligen Dreiecks gilt:

                                        x * (q - x) = y²

                 =>                   (q - x)/y = y/x

Nach den Eigenschaften der Parabel gilt ausserdem:

y = 1/(p x²)  =>  y/x = x/p

 

=>>>              (q - x)/y = x/p

=>                   pq - px  =  xy  =  x³/p

=>>>              x³ + p²x = p²q

Folglich kann man den gesuchten Wert “x“ an der Zeichnung, mit den dazugehörigen p- und q-Werten ablesen.

 

8.Fall                     x³ + ax² + bx = c

 

 

Voraussetzung: 

q =  , und  p = c/b

=>Gleichung: x³ + ax² + q²x = pq²

Zeichnung: -a und p liegen senkrecht auf q;

                    -a + p ist der Durchmesser des Kreises;

                    -durch den Endpunkt von p verläuft eine Hyperbel deren Asymptoten die Verlängerung von q und die Parallele von p durch E sind;

Nach den Eigenschaften der Hyperbel gilt:

                                        y = pq/x   =>   xy = pq

Nun werden von beiden Seiten qx abgezogen.

                   =>                x (y - q)  =  q (p - x)         (x und q jeweils ausgeklammert)

=>                (y - p)/(p - x) =  q/x

=>                (y - q)²/(p - x)²    =  q²/x²

Durch den Höhensatz des rechtwinkligen Dreiecks gilt Gleichzeitig:

(y - q)²  =  (x + a)(p - x)

=>                (y - q)²/(p - x)²  =  (x + a)/(p - x)|(beidseitiges dividieren von (p-x)²

=>>>           (x + a)/(p - x)  =  q²/x²

=>>>           x³ + ax² + q²x = pq²

 

Für diese Gleichung lässt sich das “x“ durch Abmessung an der dazugehörigen Zeichnung bestimmen.

 

 

 

Aufgaben der Algebraiker über Probleme aus dem täglichen Leben

 

Eine Lohnaufgabe:

Ein Lohnarbeiter bekommt für den Monat 10 Dirham wenn er arbeite; wenn er aber gar nicht arbeitet, muss er 6 Dirham entrichten. Wie viele Tage hat er gearbeitet, wenn er am Ende des Monats

(a) nichts bekommt und nichts schuldet?

(b) 4 Dirham bekommt?

(c) 2 Dirham entrichten muss?

 

Allgemeiner Lösungsansatz:

Der Arbeiter bekommt für t1 Tage den Lohn g

=>Für t2 < t1 Tage bekommt er den Lohn (t2/t1)*g

Ausserdem muss der Arbeiter für t1 Tage die er fehlt, den Betrag s zahlen.

=>Für t2 Arbeitstage muss er (t1-t2/t1)*s zahlen.

 

=>>>Der Rest  r = (t2/t1)*g - (t1 - t2/t1)*s   bleibt übrig.

=>       r*t1 = g*t2 - s*t1 + s*t2

=>       r*t1 + s*t1 = t2(g + s)

=>       t2 = (t1(r + s))/(g + s)

 

Genaue Lösung:

Geg: t1 = 30,  g = 10,  s = 6

=>(a) für  r = 0  und gegebenen Werte ist t2 = 180/16 = 11  1/4 Tage

     (b) für  r = 4  und gegebenen Werte ist t2 = 300/16 = 18  3/4 Tage

     (c) für  r = -2 und gegebenen Werte ist t2 = 120/16 = 7  1/2 Tage

 

 

Diese (islamische) Gleichungslehre, die auf dem Wissen v.a. der Griechen aufgebaut hat, war die Grundlage für die weiteren Erkenntnisse der mittelalterlichen, abendländischen Mathematik.

Deshalb hat man dem mittelalterlichen Islam zum einen eine Weiterentwicklung der Gleichungslehre zu verdanken, zum anderen aber auch die Erhaltung eines Teils des griechischen Erbes. Ohne die Übersetzungen der Araber (z.B. Baghdader Schule) wären wahrscheinlich viele Teile des Erbes verloren gegangen.