Modellbildung und Simulation

(Nadine Vaksic)

 

 

Geschichtliche Hintergründe

 

Im Jahr 1972 veröffentlichte der Club of Rome eine Studie von Dennis Meadows über Die Grenzen des Wachstums. Diese stellte auf drastische Art die Folgen eines exponentiellen Wachstums dar und brachte das Problem begrenzter Rohstoffressourcen zum erstenmal in die Öffentlichkeit. Meadows bediente sich dabei der Methode der System Dynamics. Obwohl im Ergebnis Meadows’ Voraussagen nicht zutrafen, vermittelten sie doch wesentliche Einsichten in globale Vorgänge. Die von Meadows benutzte Methode der dynamischen Systeme kann auf eine Vielzahl von Problemen aus den Bereichen Ökologie, Sozialwissenschaften und Naturwissenschaften angewendet werden.

 

 

Definition von Systemen

 

Ein System ist ein in sich geschlossener, in gegliedertem Aufbau einheitlich geordneter Teil der Wirklichkeit mit einer bestimmten Funktion. Es besitzt eine interne Struktur, d.h. es besteht aus unterscheidbaren Komponenten K , die in Wechselwirkung aufeinander bezogen sind.
Systeme sind nicht als isolierte Teile der Wirklichkeit aufzufassen, d.h. sie interagieren auch mit ihrer Umgebung (Außenkomponenten A ).

 

 

 

 

 

Vorgehensweise

 

Schritt

Ziele, Aufgabe, Prozesse

1. Ausgangssituation

Beschreibung der realen Situation; Problemstellung; Formulierung des Untersuchungszieles

2. Modellierung

Strukturierter Modellbildungsprozess in logischen Entwicklungsstufen;

Übergang von qualitativer zu quantitativer Modellierung

Wortmodell

Benennung wesentlicher Größen,

verbale Beschreibung gleichsinniger und gegensinniger Wirkungen

Wirkungsdiagramm

Graphische Darstellung der Größen und ihrer

Wechselwirkungen; Bezeichnung der Art der Wirkung;

Untersuchung und Angabe von Rückkopplungskreisen

Flussdiagramm

Unterscheidung der Modellgrößen in Bestandsgrößen und zugehörige Änderungsraten sowie in Parameter und Hilfsgrößen;

Graphische Darstellung dieser Größen und der Informationsflüsse

Formales Modell

Mathematische Beschreibung der Raten und Funktionen durch Gleichungen

3. Simulation

Wahl des Szenarios (Eingabe der Startwerte und Parameter), des Simulationszeitraums, des Rechenverfahren und der Schrittweite;

Berechnung in einfachen Fällen mit dem Taschenrechner anhand reiner geeigneten Tabelle oder mit dem Rechner und einem Simulationsprogramm;

(Ausgabe der Ergebnisse als Zeitkurve, Wertetabelle, Phasendiagramm und gegebenenfalls Animation

'4. Auswertung

Interpretation der Ergebnisse; Anwendung auf geeignete Fragestellungen;

Absicherung des Modells durch Vergleich mit der Realität (Experiment);

kritische Beurteilung der Ergebnisse mit Bezug auf die Grenzen des Modells (Modellkritik);

Untersuchung auf Parametersensitivität;

Möglichkeiten zur Erweiterung/Verfeinerung des Modells

 

 

 

 

 

 

Klassifikation von Modellen

 

stochastisch oder

 

deterministisch

Unter Benutzung von Zufallsvariablen

 

Keine Benutzung von Zufallsvariablen, Jeder Faktor ist eindeutig bestimmt, sobald die Faktoren bestimmt sind, mit denen er in Beziehung steht

 

dynamisch oder

 

statisch

Die Zeit tritt explizit als Variable auf

 

Zeit tritt nicht als Variable auf

 

linear oder

 

 

nicht linear

Änderungen in einer Variablen verursachen nur proportionale Änderungen in anderen Variablen

 

Nicht proportionale Änderungen

 

diskret oder

 

kontinuierlich

Unter Benutzung von Variablen, die sich schrittweise ändern, z.B. in Schritten von ganzen Zahlen ;

 

Unter Benutzung von Variablen, die sich stetig ändern, meist wird weiter vorausgesetzt, dass der Kurvenverlauf glatt, d.h. differenzierbar ist.

 

qualitativ oder

 

 

quantitativ

Variable werden mit Nominal und Ordinalskalen versehen

 

Variable werden mit Intervall-und Verhältnisskalen versehen

 

Mikro- oder

 

Makro

Modell enthält auch Individualdaten

 

Modell enthält nur aggregierte Daten

 

 

Die Modelle, die wir hier betrachten, sind dynamisch, mit quantitativen, kontinuierlichen Variablen, im allgemeinen nicht-linear, deterministisch und auf Makro-Stufe.

 

 

 

 

 

Dynamische Systeme und ihre Beschreibung

 

Ein System besteht aus mehreren Komponenten meist recht verschiedener Art, die durch Wirkungsbeziehungen miteinander verknüpft sind. Alle Systeme, die ein zeitabhängiges Verhalten zeigen, d.h. deren Entwicklung nur von der Zeit als unabhängigen Variablen abhängt, bezeichnen wir als dynamische Systeme. Das Systemverhalten ergibt sich dabei aus dem Zusammenspiel der Komponenten. Diese Komponenten lassen sich für alle dynamischen Systeme folgendermaßen unterteilen:

Parameter oder Konstanten sind Größen, die über die Beobachtungszeit konstant bleiben. Oft sind es Naturkonstanten, wie z.B. die Sonneneinstrahlung.

Exogene Größen sind Veränderliche, die auf das System einen Einfluss haben, auf die das System selbst aber keinen Einfluss nehmen kann.

Zustandsgrößen werden oft auch als Bestands- oder Speichergrößen bezeichnet. Ihr jeweiliger Zustand kennzeichnet auch gleichzeitig den Zustand des Gesamtsystems. Sie sind deshalb für die Entwicklung des Systems und für seine Beschreibung und Simulation von zentraler Bedeutung

Anfangswerte der Zustandsgrößen bestimmen demnach die weitere Entwicklung eines Systems entscheidend und müssen deshalb auch bekannt sein.

Die Flüsse oder Veränderungsraten der Zustandsgrößen bestimmen, ob und wie die Zustandsgrößen zunehmen und abnehmen. Sie müssen daher bekannt sein, um die weitere Entwicklung des Systems zu ermitteln.

Zwischengrößen oder Funktionen sind Größen, die sich zwar im Laufe der Zeit verändern, die aber ständig aus dem Systemzustand, also aus den Zustandsgrößen berechenbar sind.

 

 

Die Einsicht, dass gänzlich verschiedene Systeme die grundsätzlich gleichen Kategorien von Systemelementen hauen, vereinfacht die weiteren Untersuchungen konkreter Systeme enorm.
Wir können Jetzt nämlich die gleichen Bezeichnungen, die gleichen Symbole, die gleiche mathematische Beschreibung und gleichen Computerprogramme verwenden, um die Entwicklung völlig verschiedener dynamischer Systeme zu untersuchen.

 

 

Wirkungsdiagramme und Simulationsdiagramme

 

Wir verwenden hier zwei Arten von Diagrammen, um Modelle darzustellen. Das Wirkungsdiagramm (Kausaldiagramm) ist eine erste, noch nicht quantifizierte Darstellung der Wirkungsbeziehung im System. Die Pfeile zeigen, wie Systemgrößen auf andere einwirken. Ein Pfeil von A nach B bedeutet: "A wirkt auf B".

Wir verwenden hier die Symbolsprache der System Dynamics (z.B. Stella, Meadows: Grenzen des Wachstums). Diese Symbolik stellt durch 'Ventile' und 'Behälter' die 'Flüsse' (Veränderungsraten) und 'Speicherinhalte' (Zustände) plastisch dar und macht damit das Funktionieren des Systems sehr einsichtig. Im Simulationsdiagramm werden ebenfalls die Wirkungen zwischen den Größen gezeigt Die Struktur ist die gleiche wie im Wirkungsdiagramm. Doch jetzt werden auch die verschiedenen Arten der Größen unterschieden. Es wird die Art der Verknüpfungen zwischen den Systemgrößen definiert.

 

 

Parameter

 

Parameter, exogene Größe

Tabelle

 

Tabellenfunktion

Zwischengröße

 

Zwischengröße

Zustand

 

Zustandsgröße, Bestandsgröße

Zustandsänderung

 

Zustandsänderung, Veränderungsrate, Fluss

 

 

Als Symbole zur Erstellung von Simulationsdiagrammen werden Kreise und Rechtecke verwendet. Parameter oder exogene Funktionen der Zeit werden mit roten Kreisen gekennzeichnet, sie haben keine Eingänge (Eingangspfeile). Eine exogene Tabellenfunktion wird durch eine Tilde (~) markiert.

Zwischengrößen werden durch einen Kreis gekennzeichnet, Zustandsgrößen (Bestandsgrößen, Speichergrößen) erscheinen als Rechteck.

Für jeden Block lässt sich also eine Rechenanweisung angeben. Für die Zustandsgrößen (Integrator) wird eine spezielle Rechenvorschrift verwendet, die den neuen Wert aus dem alten Wert zuzüglich der Veränderung während des Zeitschritts berechnet. Zu Anfang der Rechnung entspricht der alte Wert dem vorgegebenen Anfangswert. Diese Gleichungen werden von DYNASYS automatisch erzeugt.

 

 

 

 

 

Beispiele

 

 

a) Räuber - Beute - System in der Biologie

 

 

Zweck: Darstellung der Eigendynamik einer dreistufigen Nahrungskette

Abgrenzung: abgegrenztes Gebiet der zwei Populationen ohne Berücksichtigung von Wanderbewegungen

Beschreibung; Die in einem begrenzten Gebiet  vorhandene  Weide lässt (bei Abwesenheit der Räuber) den Bestand der Beute bis an die Grenze der Weidekapazität wachsen. Räuber verringern jedoch den Beutebestand entsprechend der Häufigkeit des Zusammentreffens zwischen Räuber und Beute, die von dem Bestand beider Populationen abhängt.

Ohne Energiezufuhr durch Beutetiere verhungert der Räuberbestand

Modelltyp: Erklärungsmodell

Bemerkung: Je nach Wahl der Parameter und Anfangsbedingungen demonstriert das Modell wichtige Aspekte der Ökosystemforschung:

 

 

 

Modellgleichungen:

 

Zustandsgleichungen

    Hasen.neu <-- Hasen.alt + dt*(Hasen_Zuwachs - Hasen_Abnahme)
    Startwert Hasen = 200

    Fuechse.neu <-- Fuechse.alt + dt*(Fuchs_Zunahme - Fuchs_Abnahme)

    Startwert Fuechse = 50

Zustandsänderungen

    Hasen_Zuwachs = 0.001*Hasen*freie_Weide*Geburtenkoeff

    Hasen_Abnahme = 0.002*Treffen

    Fuchs_Zunahme = 0.0004*Treffen

    Fuchs_Abnahme = Energieverlust*Fuechse

Konstanten

    Energieverlust = 0.2

    Geburtenkoeff = 0.08

    Weidekap = Wenn(Zeit<100;2000;500)

Zwischenwerte

    Treffen = Hasen*Fuechse

    freie_Weide = Weidekap-Hasen

 

 

 

 

b) Lineares Wachstum in der Mathematik

 

Zweck: Konstantes Wachstum einer Population.
Abgrenzung: Äußere Einflüsse werden nicht berücksichtigt. In der Natur gibt es nur sehr wenige Veränderungen, die über längere Zeit linear verlaufen.
Beschreibung; Eine Bestandsgröße wächst linear, d.h. in jeweils gleichen Zeitabschnitten nimmt die Population um den gleichen Wert zu, d.h. der Zuwachs ist konstant

Modelltyp: Erklärungsmodell

Bemerkung: Der Träger des Wachstumsprozesses wird hier grundsätzlich als Population (Bevölkerung) bezeichnet. Diese kann auch tatsächlich die menschliche Bevölkerung eines Landes sein. Der Begriff Population wird aber allgemeiner verstanden, so dass auch eine Tierpopulation, eine im Laborversuch untersuchtes Präparat (chemische Substanz) oder eine wirtschaftliche Größe (Sozialprodukt, Lohn, Guthaben) dargestellt werden kann

 

 

 

 

 

 

 

 

Modellgleichungen:

 

Zustandsgleichungen

    Population, neu <-- Population.alt + dt*(Zuwachs)

        Startwert Population = 10

Zustandsänderungen
   
Zuwachs = 1

 

 

 

 

c) Wachstum mit Selbstvergiftung in der Mathematik

 

Zweck: Erklärungsmodell für eine Population, die sich durch Abgabe von Umweltgiften selbst vergiftet

Abgrenzung: keine

Beschreibung: In Abhängigkeit von der Population werden Umweltgifte (z.B. Exkremente) abgegeben. Diese verbleiben im System und werden nicht abgebaut. Die Giftmenge wird im zeitlichen Verlauf immer größer und wirkt sich auf die Abnahme der Population aus.

Die Population zunächst exponentiell bis zu einem Maximum, anschließend nimmt die Bevölkerung wieder ab und stirbt aus

Modelltyp: Erklärungsmodell

 

 

Modellgleichungen:

 

Zustandsgleichungen

    x.neu <-- x.alt + dt*v

        Startwert x = 0

Zustandsänderungen

    v = 2 (m / s)

 

 

 

 

d) Fallschirmspringen in der Physik

 

Zweck: Darstellung von Weg und Geschwindigkeit eines Fallschirmspringers

Abgrenzung: Luftbewegungen werden nicht berücksichtigt.

Beschreibung: Der Fallschirmspringer wird durch seine Gewichtskraft mit der Beschleunigung a nach unten beschleunigt. Dem entgegengerichtet ist die Strömungswiderstandskraft, die proportional zum Quadrat der Geschwindigkeit des Fallschirmspringers ist. Die Luftdichte wird durch die barometrische Höhenformel bestimmt.

Modelltyp: Prognosemodell

 

 

Bemerkung: Durch eine Tabellenfunktion wird die Querschnittsfläche geändert, dadurch wird das Öffnen des Fallschirms simuliert.

 

Modellgleichungen:

 

Zustandsgleichungen:

    Geschwindigkeit.neu <-- Geschwindigkeit.alt + dt*(GeschwÄnderung)
        Startwert Geschwindigkert="0"

    Höhe_über_0berfl.neu <-- Höhe_über_0berfl.alt + dt*(-Fallweg)

        Startwert Höhe_über_Oberfl = "3000"

Zustandsänderungen

    GeschwÄnderung="Beschleunigung"

    Fallweg="Geschwindigkeit"


Konstanten

    Widerstandsbeiwert="1"

    Masse_Springer="80"

    Fallbeschleunigung="9.81"

    Luftdichte_Erdoberfl="l .29"

Zwischenwerte

    Querschnittsfl="Tabelle(Höhe_über_Oberfl)" ((400.00;40.00)(420.00;38.09)(440.00;32.35)
                                    (460.00;26.61)( 480.00;19.44)(500.00;11.47)(520.00;7.17)(540.00;4.30);

                                    (560.00;2.55) (580.00;1.43)(600.00;1.43);

    Luftdichte=“ILuftdichte_Erdoberfl*exp(-0,000l27*Höhe_über_Oberfl)"

    Gewichtskraft="Masse_Springer*Fallbeschleunigung"

    StrömgWidKraft="0.5*Querscnnittsfl*Luftdichte*Widerstandsbeiwert*Quadrat(Geschwindigkeit)"

    Gesamtkraft="Gewichtskraft-StrömgWidKraft"

    Beschleunigung="Gesamtkraft/Masse_Springer"

 

 

 

 

 

Quellen:

 

Bossel, Hartmut: Modellbildung und Simulation, Vieweg-Verlag, 1992, ISBN 3-528-05242-2
Bossel. Hartmut: Umweltdynamik, te-wi- Verlag, München 1985
Dürr/Ziegenbalg, Mathematik für Computeranwendungen. Schöningh. 1989
http://www.uni-tuebingen.de/uni/dii/A1/jwede7sim/Jwzumb1.html
http://isgsim1.cs.uni-magdeburg.de/~pelo/s1e/sa1/sa1.shtml

http://ubmail.ubalt.edu/~harsham/simulation/sim.htm